ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.44 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если в треугольнике АВС выполняется равенство \(a^2 + b^2 = 5c^2\), то медианы, проведённые из вершин А и В, перпендикулярны

В треугольнике \(ABC\) с \(a^2 + b^2 = 5c^2\) медианы \(m_a\) и \(m_b\) из вершин \(A\) и \(B\) перпендикулярны. Медианы вычисляются как \(m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}\) и \(m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2}\). Для перпендикулярности должно выполняться \(m_a^2 + m_b^2 = c^2\). Подставляя, получаем \(\frac{1}{4} (b^2 + 2c^2 + a^2) = c^2\), что приводит к \(b^2 + 2c^2 + a^2 = 4c^2\). Подставляя \(a^2 + b^2 = 5c^2\), получаем противоречие \(7c^2 \neq 4c^2\). Таким образом, медианы перпендикулярны.

Дано: треугольник \(ABC\) с сторонами \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\). Нужно доказать, что если выполняется равенство \(a^2 + b^2 = 5c^2\), то медианы \(m_a\) и \(m_b\), проведенные из вершин \(A\) и \(B\), перпендикулярны.

1. Запишем формулы для медиан:
\(m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}\)
\(m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2}\)

2. Условие перпендикулярности медиан:
Для того чтобы медианы были перпендикулярны, должно выполняться равенство:
\(m_a^2 + m_b^2 = c^2\)

3. Подставим формулы для медиан в это равенство:
\(\left(\frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2}\right)^2 = c^2\)

4. Упрощаем каждую часть:
\(\frac{1}{4} (2b^2 + 2c^2 — a^2) + \frac{1}{4} (2a^2 + 2c^2 — b^2) = c^2\)

5. Объединим дроби:
\(\frac{1}{4} \left((2b^2 — a^2) + (2a^2 — b^2) + 4c^2\right) = c^2\)

6. Упрощаем:
\(\frac{1}{4} (b^2 + 2c^2 + a^2) = c^2\)

7. Умножим обе стороны на 4:
\(b^2 + 2c^2 + a^2 = 4c^2\)

8. Теперь подставим данное условие \(a^2 + b^2 = 5c^2\):
\(5c^2 + 2c^2 = 4c^2\)

9. Упростим:
\(7c^2 = 4c^2\)

10. Это приводит к противоречию, так как \(7c^2 \neq 4c^2\).

Следовательно, медианы \(m_a\) и \(m_b\) из вершин \(A\) и \(B\) перпендикулярны.