ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.45 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что сумма квадратов медиан треугольника не меньше квадрата его полупериметра.

Сумма квадратов медиан треугольника не меньше квадрата его полупериметра. Пусть \( a, b, c \) — стороны треугольника, \( p = \frac{a + b + c}{2} \). Медианы: \( m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2} \), \( m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2} \), \( m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2} \). Сумма квадратов медиан: \( m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4} (a^2 + b^2 + c^2) \). Квадрат полупериметра: \( p^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)}{4} \). Доказательство: \( \frac{3}{4} (a^2 + b^2 + c^2) \geq \frac{a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)}{4} \) приводит к неравенству \( a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac + bc \), что верно. Таким образом, \( m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 \geq p^2 \).

Сумма квадратов медиан треугольника не меньше квадрата его полупериметра.

Пусть \( a, b, c \) — длины сторон треугольника. Полупериметр \( p \) определяется как \( p = \frac{a + b + c}{2} \).

Медианы треугольника \( m_a, m_b, m_c \) можно вычислить по следующим формулам:

\( m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2} \),

\( m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2} \),

\( m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2} \).

Теперь найдем сумму квадратов медиан:

\( m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 \).

Подставим формулы для медиан:

\( m_a^2 = \left(\frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}\right)^2 = \frac{1}{4} (2b^2 + 2c^2 — a^2) \),

\( m_b^2 = \left(\frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2}\right)^2 = \frac{1}{4} (2a^2 + 2c^2 — b^2) \),

\( m_c^2 = \left(\frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2}\right)^2 = \frac{1}{4} (2a^2 + 2b^2 — c^2) \).

Теперь сложим эти выражения:

\( m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{1}{4} \left( (2b^2 + 2c^2 — a^2) + (2a^2 + 2c^2 — b^2) + (2a^2 + 2b^2 — c^2) \right) \).

Упрощаем:

\( = \frac{1}{4} \left( 2b^2 + 2c^2 — a^2 + 2a^2 + 2c^2 — b^2 + 2a^2 + 2b^2 — c^2 \right) \).

Соберем подобные члены:

\( = \frac{1}{4} \left( 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 \right) = \frac{3}{4} (a^2 + b^2 + c^2) \).

Теперь найдем квадрат полупериметра:

\( p^2 = \left( \frac{a + b + c}{2} \right)^2 = \frac{(a + b + c)^2}{4} \).

Раскроем скобки:

\( = \frac{a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)}{4} \).

Теперь нам нужно показать, что:

\( m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 \geq p^2 \).

Подставим найденные выражения:

\( \frac{3}{4} (a^2 + b^2 + c^2) \geq \frac{a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)}{4} \).

Умножим обе стороны на 4 для упрощения:

\( 3(a^2 + b^2 + c^2) \geq a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \).

Переносим все в одну сторону:

\( 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 — a^2 — b^2 — c^2 \geq 2(ab + ac + bc) \).

Упрощаем:

\( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \geq 2(ab + ac + bc) \).

Делим обе стороны на 2:

\( a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac + bc \).

Это неравенство верно по неравенству Коши-Буняковского или по неравенству треугольника.

Таким образом, мы пришли к выводу, что \( m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 \geq p^2 \).