ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.46 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Даны две окружности, имеющие общий центр (такие окружности называют концентрическими). Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки одной из окружностей до концов диаметра другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.
1. Координаты точки \( A \): \( (r \cos \theta, r \sin \theta) \).
2. Координаты точек \( B \) и \( C \): \( B = (R \cos \phi, R \sin \phi) \), \( C = (-R \cos \phi, -R \sin \phi) \).
3. Расстояние \( AB^2 \): \( (r \cos \theta — R \cos \phi)^2 + (r \sin \theta — R \sin \phi)^2 = r^2 + R^2 — 2rR \cos(\theta — \phi) \).
4. Расстояние \( AC^2 \): \( (r \cos \theta + R \cos \phi)^2 + (r \sin \theta + R \sin \phi)^2 = r^2 + R^2 + 2rR \cos(\theta — \phi) \).
5. Сумма квадратов \( AB^2 + AC^2 \): \( 2r^2 + 2R^2 \).
Пусть у нас есть две концентрические окружности с центром в точке \( O \). Обозначим радиус внутренней окружности как \( r \), а радиус внешней окружности как \( R \).
Рассмотрим произвольную точку \( A \) на внутренней окружности. Координаты точки \( A \) можно записать как \( (r \cos \theta, r \sin \theta) \), где \( \theta \) — угол, определяющий положение точки \( A \) на окружности.
Обозначим концы диаметра внешней окружности как точки \( B \) и \( C \). Для удобства будем считать, что угол \( \phi \) определяет положение точки \( B \) на внешней окружности, а точка \( C \) будет находиться на противоположной стороне диаметра. Тогда координаты точек \( B \) и \( C \) можно записать следующим образом:
\( B = (R \cos \phi, R \sin \phi) \)
\( C = (-R \cos \phi, -R \sin \phi) \)
Теперь найдем расстояние от точки \( A \) до точки \( B \):
\( AB = \sqrt{(r \cos \theta — R \cos \phi)^2 + (r \sin \theta — R \sin \phi)^2} \)
Раскроем квадрат:
\( AB^2 = (r \cos \theta — R \cos \phi)^2 + (r \sin \theta — R \sin \phi)^2 \)
Раскроем каждую часть:
\( AB^2 = (r^2 \cos^2 \theta — 2rR \cos \theta \cos \phi + R^2 \cos^2 \phi) + (r^2 \sin^2 \theta -\)
\(- 2rR \sin \theta \sin \phi + R^2 \sin^2 \phi) \)
Соберем подобные слагаемые:
\( AB^2 = r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + R^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) — 2rR (\cos \theta \cos \phi + \)
\(+\sin \theta \sin \phi) \)
Используя тригонометрическую идентичность \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), упростим:
\( AB^2 = r^2 + R^2 — 2rR \cos(\theta — \phi) \)
Теперь найдем расстояние от точки \( A \) до точки \( C \):
\( AC = \sqrt{(r \cos \theta + R \cos \phi)^2 + (r \sin \theta + R \sin \phi)^2} \)
Аналогично раскроем квадрат:
\( AC^2 = (r \cos \theta + R \cos \phi)^2 + (r \sin \theta + R \sin \phi)^2 \)
Раскроем каждую часть:
\( AC^2 = (r^2 \cos^2 \theta + 2rR \cos \theta \cos \phi + R^2 \cos^2 \phi) + (r^2 \sin^2 \theta +\)
\(+ 2rR \sin \theta \sin \phi + R^2 \sin^2 \phi) \)
Соберем подобные слагаемые:
\( AC^2 = r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + R^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) + 2rR (\cos \theta \cos \phi +\)
\(+ \sin \theta \sin \phi) \)
Снова используя тригонометрическую идентичность:
\( AC^2 = r^2 + R^2 + 2rR \cos(\theta — \phi) \)
Теперь найдем сумму квадратов расстояний:
\( AB^2 + AC^2 = (r^2 + R^2 — 2rR \cos(\theta — \phi)) + (r^2 + R^2 + 2rR \cos(\theta — \phi)) \)
Сложим результаты:
\( AB^2 + AC^2 = 2r^2 + 2R^2 \)
Таким образом, сумма квадратов расстояний от точки \( A \) до концов диаметра внешней окружности \( B \) и \( C \) равна \( 2r^2 + 2R^2 \). Эта сумма не зависит ни от выбора точки \( A \) на внутренней окружности, ни от выбора угла \( \phi \) для диаметра внешней окружности.
