ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон.

Для четырехугольника \(ABCD\) с координатами \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\), \(D(x_4, y_4)\) диагонали \(AC\) и \(BD\) вычисляются как \(AC^2 = (x_3 — x_1)^2 + (y_3 — y_1)^2\) и \(BD^2 = (x_4 — x_2)^2 + (y_4 — y_2)^2\). Сумма квадратов диагоналей: \(AC^2 + BD^2 = (x_3 — x_1)^2 + (y_3 — y_1)^2 + (x_4 — x_2)^2 + (y_4 — y_2)^2\). Середины сторон \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) имеют координаты \(M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\), \(N\left(\frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2}\right)\), \(P\left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right)\), \(Q\left(\frac{x_1 + x_4}{2}, \frac{y_1 + y_4}{2}\right)\). Квадраты отрезков \(MN^2 = \frac{1}{4}\left((x_3 + x_4 — x_1 — x_2)^2 + (y_3 + y_4 — y_1 — y_2)^2\right)\) и \(PQ^2 = \frac{1}{4}\left((x_2 + x_3 — x_1 — x_4)^2 + (y_2 + y_3 — y_1 — y_4)^2\right)\).
Сумма квадратов отрезков: \(MN^2 + PQ^2\).
Умножив на 2, получаем \(2(MN^2 + PQ^2) = \frac{1}{2}((x_3 + x_4 — x_1 — x_2)^2 + (y_3 + y_4 — y_1 — y_2)^2 +\)
\(+ (x_2 + x_3 — x_1 — x_4)^2 + (y_2 + y_3 — y_1 — y_4)^2)\). Таким образом, \(AC^2 + BD^2 = 2(MN^2 + PQ^2)\).

Рассмотрим произвольный четырехугольник \(ABCD\). Обозначим координаты вершин следующим образом:

— \(A(x_1, y_1)\)
— \(B(x_2, y_2)\)
— \(C(x_3, y_3)\)
— \(D(x_4, y_4)\)

Сначала найдем длины диагоналей \(AC\) и \(BD\):

Длина диагонали \(AC\) вычисляется по формуле:

\(AC = \sqrt{(x_3 — x_1)^2 + (y_3 — y_1)^2}\)

Квадрат диагонали \(AC\):

\(AC^2 = (x_3 — x_1)^2 + (y_3 — y_1)^2\)

Длина диагонали \(BD\):

\(BD = \sqrt{(x_4 — x_2)^2 + (y_4 — y_2)^2}\)

Квадрат диагонали \(BD\):

\(BD^2 = (x_4 — x_2)^2 + (y_4 — y_2)^2\)

Теперь найдем сумму квадратов диагоналей:

\(AC^2 + BD^2 = (x_3 — x_1)^2 + (y_3 — y_1)^2 + (x_4 — x_2)^2 + (y_4 — y_2)^2\)

Теперь определим середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\):

Середина \(M\) стороны \(AB\):

\(M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)

Середина \(N\) стороны \(CD\):

\(N\left(\frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2}\right)\)

Середина \(P\) стороны \(BC\):

\(P\left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right)\)

Середина \(Q\) стороны \(DA\):

\(Q\left(\frac{x_1 + x_4}{2}, \frac{y_1 + y_4}{2}\right)\)

Теперь найдем длины отрезков \(MN\) и \(PQ\):

Длина отрезка \(MN\):

\(MN = \sqrt{\left(\frac{x_3 + x_4}{2} — \frac{x_1 + x_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_3 + y_4}{2} — \frac{y_1 + y_2}{2}\right)^2}\)

Квадрат отрезка \(MN\):

\(MN^2 = \frac{1}{4}\left((x_3 + x_4 — x_1 — x_2)^2 + (y_3 + y_4 — y_1 — y_2)^2\right)\)

Длина отрезка \(PQ\):

\(PQ = \sqrt{\left(\frac{x_2 + x_3}{2} — \frac{x_1 + x_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2 + y_3}{2} — \frac{y_1 + y_4}{2}\right)^2}\)

Квадрат отрезка \(PQ\):

\(PQ^2 = \frac{1}{4}\left((x_2 + x_3 — x_1 — x_4)^2 + (y_2 + y_3 — y_1 — y_4)^2\right)\)

Теперь найдем сумму квадратов отрезков:

\(MN^2 + PQ^2 = \frac{1}{4}\left((x_3 + x_4 — x_1 — x_2)^2 + (y_3 + y_4 — y_1 — y_2)^2\right) +\)
\( \frac{1}{4}((x_2 + x_3 — x_1 — x_4)^2 + (y_2 + y_3 — y_1 — y_4)^2)\)

Упростим:

\(MN^2 + PQ^2 = \frac{1}{4}((x_3 + x_4 — x_1 — x_2)^2 + (y_3 + y_4 — y_1 — y_2)^2 + (x_2 + \)
\(+x_3 — x_1 — x_4)^2 + (y_2 + y_3 — y_1 — y_4)^2)\)

Теперь подставим все найденные значения в равенство:

\(AC^2 + BD^2 = 2(MN^2 + PQ^2)\)

Сравнив обе стороны, мы видим, что:

\((x_3 — x_1)^2 + (y_3 — y_1)^2 + (x_4 — x_2)^2 + (y_4 — y_2)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4}((x_3 + x_4 — x_1 -\)
\(- x_2)^2 + (y_3 + y_4 — y_1 — y_2)^2 + (x_2 + x_3 — x_1 — x_4)^2 + (y_2 + y_3 — y_1 — y_4)^2)\)

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов диагоналей четырехугольника в два раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.