ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.48 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны \(m\) и \(n\), угол между ними равен \(60°\). Найдите диагонали четырёхугольника.

Длину диагоналей четырёхугольника можно найти по формулам:

\( AC = \sqrt{m^2 + n^2} + mn \)

\( BD = \sqrt{m^2 + n^2} — mn \)

В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны \(m\) и \(n\). Обозначим середины сторон \(AB\) и \(CD\) как \(M\) и \(N\) соответственно, а середины сторон \(AD\) и \(BC\) как \(P\) и \(Q\). Угол между отрезками \(MN\) и \(PQ\) равен \(60^\circ\).

1. Векторное представление отрезков:
Пусть вектор \( \vec{MN} \) соответствует отрезку \(MN\) и имеет длину \(m\), а вектор \( \vec{PQ} \) соответствует отрезку \(PQ\) и имеет длину \(n\).

2. Используем формулы для нахождения длин диагоналей \(AC\) и \(BD\):
Длина диагонали \(AC\) может быть найдена по формуле:
\( AC = \sqrt{MN^2 + PQ^2 + 2 \cdot MN \cdot PQ \cdot \cos(60^\circ)} \).
Подставляем значения:
\( AC = \sqrt{m^2 + n^2 + 2 \cdot m \cdot n \cdot \frac{1}{2}} \).

3. Упрощаем выражение для \(AC\):
\( AC = \sqrt{m^2 + n^2 + mn} \).

4. Аналогично, длина диагонали \(BD\) вычисляется по формуле:
\( BD = \sqrt{MN^2 + PQ^2 — 2 \cdot MN \cdot PQ \cdot \cos(60^\circ)} \).
Подставляем значения:
\( BD = \sqrt{m^2 + n^2 — 2 \cdot m \cdot n \cdot \frac{1}{2}} \).

5. Упрощаем выражение для \(BD\):
\( BD = \sqrt{m^2 + n^2 — mn} \).

Таким образом, длины диагоналей четырёхугольника равны:
\( AC = \sqrt{m^2 + n^2} + mn \) и \( BD = \sqrt{m^2 + n^2} — mn \).