ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.49 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали выпуклого четырёхугольника равны \(a\) и \(b\), угол между ними равен \(45°\). Найдите отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Дано: диагонали \(AC = a\) и \(BD = b\), угол между ними \(45^\circ\).

Для нахождения отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон, используем формулу:

\(MN = \sqrt{a^2 + b^2} + \frac{ab}{2}\) и \(MN = -\sqrt{a^2 + b^2} — \frac{ab}{2}\)

Ответ: \( \sqrt{a^2 + b^2} + \frac{ab}{2}, -\sqrt{a^2 + b^2} — \frac{ab}{2} \)

Дано: выпуклый четырёхугольник с равными диагоналями \(AC = a\) и \(BD = b\), угол между ними равен \(45^\circ\).

1. Обозначим точки пересечения диагоналей как \(O\). Тогда \(AO = \frac{a}{2}\) и \(BO = \frac{b}{2}\).
2. Рассмотрим треугольник \(AOB\). В этом треугольнике угол \(AOB = 45^\circ\).
3. Используем теорему косинусов для нахождения длины стороны \(AB\):
\(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(45^\circ)\).
4. Подставляем значения:
\(AB^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 — 2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{b}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\).
5. Упрощаем:
\(AB^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} — \frac{ab\sqrt{2}}{4}\).
6. Переписываем:
\(AB^2 = \frac{1}{4}(a^2 + b^2 — ab\sqrt{2})\).
7. Теперь находим длину отрезка \(MN\), соединяющего середины противолежащих сторон. Используем формулу:
\(MN = \sqrt{a^2 + b^2} + \frac{ab}{2}\) и \(MN = -\sqrt{a^2 + b^2} — \frac{ab}{2}\).
8. Подставляем найденные значения:
\(MN = \sqrt{a^2 + b^2} + \frac{ab}{2}\).
9. Второй отрезок:
\(MN = -\sqrt{a^2 + b^2} — \frac{ab}{2}\).

Ответ: \( \sqrt{a^2 + b^2} + \frac{ab}{2}, -\sqrt{a^2 + b^2} — \frac{ab}{2} \)