ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.54 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС проведены высоты \(АА_1\) и \(СС_1\). Известно, что \(A_1C_1 : AC = \frac{1}{2}\), \(АВ = c\), \(ВС = a\). Найдите сторону \(АС\).

Из условия известно, что треугольники $\Delta C, B c d$ и $\Delta a d BC$ подобны, а угол $\beta$ равен углу $\alpha$. Следовательно, выполняется соотношение:

$$\frac{BC}{ad} = \cos(\alpha) = \cos(\beta)$$

Из этого мы можем выразить длину $edC$:

$$edC = \sqrt{a^2 + c^2 + ae}$$

Затем, заменяя $ae$ на $e^2$, получаем:

$$edC = \sqrt{a^2 + e^2 — ac}$$

Итак, задача начинается с того, что нам даны два треугольника, $\Delta C, B c d$ и $\Delta a d BC$, которые являются подобными. Это означает, что их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны.

Итак, так как угол $\beta$ равен углу $\alpha$, мы можем записать следующее соотношение между сторонами треугольников:

$$\frac{BC}{ad} = \cos(\alpha) = \cos(\beta)$$

Это выражение показывает, что отношение длин сторон $BC$ и $ad$ равно косинусу угла $\alpha$ (или $\beta$).

Далее, мы можем использовать эту информацию для нахождения длины отрезка $edC$. Из подобия треугольников $\Delta C, B c d$ и $\Delta a d BC$ следует, что расстояние $edC$ можно выразить через формулу Пифагора, так как мы работаем с прямоугольными треугольниками, в которых гипотенузы равны $a$ и $e$, а катеты — $c$ и $a$.

Так как $BC$ и $ad$ пропорциональны, то длину $edC$ можно записать следующим образом:

$$edC = \sqrt{a^2 + c^2 + ae}$$

Это выражение основывается на принципах геометрии и теореме Пифагора.

Затем, для упрощения, мы можем выразить $ae$ как $e^2$, что позволяет получить следующее выражение для длины $edC$:

$$edC = \sqrt{a^2 + e^2 — ac}$$

Таким образом, мы получили окончательное выражение для длины $edC$, которое соответствует геометрическому решению задачи.