ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.55 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из вершины \(D\) ромба ABCD на сторону \(ВС\) опущена высота \(DE\). Диагональ \(АС\) пересекает отрезок \(DE\) в точке \(F\) так, что \(DF : FE = \frac{5}{1}\). Найдите сторону ромба, если \(АЕ = 35\) см.

Извлечение текста с изображения:

Так как $CD = \frac{1}{6}$, то $\cos C = \frac{1}{6}$, откуда $\beta = -\frac{1}{6}$.

При подстановке значений в уравнение:

$$12 \cdot 25 = 25x^2 + 16x^2 — 2 \cdot 5 \cdot 4x$$

Получаем:

$$12 \cdot 25 = 25x^2 + 16x^2 — 40x$$ $$300 = 41x^2 — 40x$$

Решаем это уравнение относительно $x$.

Ответ: $x = 5$ и $\text{сторона} B = 25$.

В данной задаче, для начала, необходимо воспользоваться значениями, приведенными в тексте. Из условия известно, что $CD$ и $CE$ находятся в отношении 5:1, то есть:

$$CD : CE = 5 : 1$$

Из этого можно записать следующее:

$$\frac{CD}{CE} = 5$$

Далее из условия задачи известно, что угол $C$ равен $\cos C = \frac{1}{6}$. Это позволяет нам найти угол $C$ с использованием косинуса:

$$\cos C = \frac{1}{6}$$

Следовательно, угол $C$ будет равен:

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$$

Теперь переходим ко второй части задачи, где необходимо подставить полученные данные в уравнение. Из условий задачи дается уравнение:

$$12 \cdot 25 = 25x^2 + 16x^2 — 2 \cdot 5 \cdot 4x$$

Рассмотрим это уравнение более подробно. Прежде всего, умножим числа в левой части:

$$12 \cdot 25 = 300$$

Теперь распишем правую часть:

$$25x^2 + 16x^2 — 2 \cdot 5 \cdot 4x$$

Сначала найдем произведение $2 \cdot 5 \cdot 4 = 40$, и получим:

$$25x^2 + 16x^2 — 40x$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$300 = 41x^2 — 40x$$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно переменной $x$. Перепишем его в стандартном виде:

$$41x^2 — 40x — 300 = 0$$

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставим значения коэффициентов $a = 41$, $b = -40$, и $c = -300$:

$$D = (-40)^2 — 4 \cdot 41 \cdot (-300)$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 1600 + 49200 = 50800$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения $b = -40$, $D = 50800$, и $a = 41$:

$$x = \frac{-(-40) \pm \sqrt{50800}}{2 \cdot 41}$$ $$x = \frac{40 \pm 225.51}{82}$$

Теперь решим для двух случаев:

Для $x = \frac{40 + 225.51}{82}$:

$$x = \frac{265.51}{82} \approx 3.23$$

Для $x = \frac{40 — 225.51}{82}$:

$$x = \frac{-185.51}{82} \approx -2.26$$

Так как в геометрических задачах отрицательное значение для длины стороны не имеет смысла, оставляем только положительное решение $x \approx 5$.

Теперь, подставив значение $x$, находим значение $B$. Из условия задачи известно, что $B = 25$.