ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.56 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что \(АВ = a\), \(ВС = b\), \(CD = c\), \(DA = d\), причём \(a^2 + c^2 = b^2 + d^2\). Докажите, что диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны.

Если в выпуклом четырёхугольнике ABCD выполняется условие \(AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2\), то диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны.

Доказательство:

1. Дано: \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\), \(DA = d\).
2. Условие: \(a^2 + c^2 = b^2 + d^2\).
3. По теореме о перпендикулярности диагоналей: если \(AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2\), то диагонали перпендикулярны.
4. Подставляем: \(a^2 + c^2 = b^2 + d^2\).
5. Следовательно, \(AC \perp BD\).

Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет стороны \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\), \(DA = d\) и условие \(a^2 + c^2 = b^2 + d^2\). Необходимо доказать, что диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны.

1. Рассмотрим точки A, B, C и D на плоскости. Обозначим длины сторон четырёхугольника: \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\), \(DA = d\).

2. Известно, что в любом выпуклом четырёхугольнике сумма квадратов длин противоположных сторон равна сумме квадратов длин других противоположных сторон, если диагонали перпендикулярны.

3. Для нашего случая имеем: \(AB^2 + CD^2 = a^2 + c^2\) и \(BC^2 + DA^2 = b^2 + d^2\).

4. По условию задачи: \(a^2 + c^2 = b^2 + d^2\).

5. Подставляем известные значения в формулу: \(AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2\) становится \(a^2 + c^2 = b^2 + d^2\).

6. Это указывает на то, что условие для перпендикулярности диагоналей выполнено.

7. Следовательно, по теореме о перпендикулярности диагоналей в выпуклом четырёхугольнике, если \(AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2\), то диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны.

8. Таким образом, мы можем заключить, что диагонали \(AC\) и \(BD\) действительно перпендикулярны.

9. Это завершает доказательство, так как все условия и выводы соответствуют теореме.

10. В итоге мы показали, что в данном четырёхугольнике диагонали перпендикулярны.