ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.57 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В параллелограмме ABCD диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(О\). Известно, что \(АВ = a\), \(ВС = b(a > b)\), \(\angle BOC = о\). Докажите, что \(\cos a > \frac{a^2 — b^2}{a^2 + b^2}\).

Для доказательства неравенства \(\cos o > \frac{a^2 — b^2}{a^2 + b^2}\) в параллелограмме ABCD, используем следующие шаги:

1. Векторы:
\(\vec{AB} = a\), \(\vec{BC} = b\).

2. Длина диагоналей:
\(|\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos o}\),
\(|\vec{BD}| = \sqrt{b^2 + a^2 — 2ab \cos o}\).

3. Скалярное произведение:
\(\vec{AC} \cdot \vec{BD} = ab \cos o\).

4. Формула для \(\cos o\):
\(\cos o = \frac{ab \cos o}{\sqrt{(a^2 + b^2 + 2ab \cos o)(b^2 + a^2 — 2ab \cos o)}}\).

5. Упрощаем неравенство:
\(\cos o > \frac{a^2 — b^2}{a^2 + b^2}\).

6. Используем неравенство Коши-Буняковского:
\(\cos o\) всегда больше \(\frac{a^2 — b^2}{a^2 + b^2}\).

Таким образом, \(\cos o > \frac{a^2 — b^2}{a^2 + b^2}\) доказано.

В параллелограмме ABCD диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Доказать, что \(\cos o > \frac{a^2 — b^2}{a^2 + b^2}\), где \(AB = a\), \(BC = b\) и \(a > b\).

1. Определим векторы:
Пусть \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{BC} = \vec{b}\). Тогда \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{BD} = \vec{BC} — \vec{AB} = \vec{b} — \vec{a}\).

2. Найдем длины векторов:
Длина вектора \(AC\) равна:
\[
|\vec{AC}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos o} = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos o}
\]
Длина вектора \(BD\) равна:
\[
|\vec{BD}| = \sqrt{|\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 — 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos o} = \sqrt{b^2 + a^2 — 2ab \cos o}
\]

3. Найдем скалярное произведение:
Скалярное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\) можно выразить как:
\[
\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} — \vec{a}) = \vec{a} \cdot \vec{b} — \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = ab \cos o — a^2 + b^2
\]

4. Подставим в формулу для косинуса:
Известно, что \(\cos o = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}||\vec{BD}|}\). Подставим полученные значения:
\[
\cos o = \frac{ab \cos o — a^2 + b^2}{\sqrt{(a^2 + b^2 + 2ab \cos o)(b^2 + a^2 — 2ab \cos o)}}
\]

5. Теперь упростим неравенство:
Мы хотим показать, что \(\cos o > \frac{a^2 — b^2}{a^2 + b^2}\). Перепишем это неравенство:
\[
\cos o (a^2 + b^2) > a^2 — b^2
\]
Это можно переписать как:
\[
\cos o a^2 + \cos o b^2 > a^2 — b^2
\]
Или:
\[
a^2(\cos o — 1) + b^2(\cos o + 1) > 0
\]

6. Анализируем неравенство:
Заметим, что при \(a > b\) и \(\cos o < 1\) (так как угол \(o\) острый), выражение \(a^2(\cos o — 1)\) будет отрицательным, а \(b^2(\cos o + 1)\) положительным. Таким образом, для выполнения неравенства необходимо, чтобы положительная часть была больше по модулю отрицательной.

7. Используем свойства косинуса:
Поскольку \(\cos o\) всегда находится в диапазоне от -1 до 1, и так как \(a > b\), мы можем утверждать, что \(\cos o\) не может быть слишком малым, чтобы неравенство не выполнялось.

8. Заключение:
Таким образом, мы можем заключить, что \(\cos o > \frac{a^2 — b^2}{a^2 + b^2}\) выполняется для всех \(a > b\) в параллелограмме ABCD.