ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.58 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На диаметре окружности радиуса \(R\) с центром \(О\) отметили точку \(М\). Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки \(М\) до концов хорды, параллельной этому диаметру, не зависит от выбора хорды.

Сумма квадратов расстояний от точки \(M\) до концов хорды \(C\) и \(D\) равна:

\(MC^2 + MD^2 = (OM — h)^2 + x^2 + (OM + h)^2 + x^2\)

Раскроем скобки:

\(= (d — h)^2 + x^2 + (d + h)^2 + x^2\)

\(= (d^2 — 2dh + h^2 + x^2) + (d^2 + 2dh + h^2 + x^2)\)

\(= 2d^2 + 2h^2 + 2x^2\)

Подставим \(h^2 = R^2 — x^2\):

\(= 2d^2 + 2(R^2 — x^2) + 2x^2\)

\(= 2d^2 + 2R^2\)

Сумма квадратов расстояний не зависит от выбора хорды.

Рассмотрим окружность радиуса \(R\) с центром в точке \(O\) и диаметром \(AB\). Пусть \(M\) — точка на диаметре \(AB\), которая делит его на отрезки \(OM = d\) и \(MB = R — d\).

Теперь возьмем произвольную хорду \(CD\), параллельную диаметру \(AB\). Обозначим расстояние от центра окружности до хорды как \(h\), а расстояние от \(M\) до хорды как \(h_M\).

Поскольку хорда \(CD\) параллельна диаметру, расстояние от центра окружности до хорды можно найти по формуле:

\(h = \sqrt{R^2 — x^2}\)

где \(x\) — половина длины хорды \(CD\).

Теперь найдем расстояния от точки \(M\) до концов хорды \(C\) и \(D\). Эти расстояния можно выразить как:

\(MC = \sqrt{(OM — h_M)^2 + x^2} = \sqrt{(d — h_M)^2 + x^2}\)

\(MD = \sqrt{(OM + h_M)^2 + x^2} = \sqrt{(d + h_M)^2 + x^2}\)

Теперь мы можем найти сумму квадратов этих расстояний:

\(MC^2 + MD^2 = (d — h_M)^2 + x^2 + (d + h_M)^2 + x^2\)

Раскроем скобки:

\(= (d^2 — 2dh_M + h_M^2 + x^2) + (d^2 + 2dh_M + h_M^2 + x^2)\)

Объединим подобные слагаемые:

\(= 2d^2 + 2h_M^2 + 2x^2\)

Теперь подставим значение \(h_M\):

\(h_M = h = \sqrt{R^2 — x^2}\)

Тогда \(h_M^2 = R^2 — x^2\). Подставим это значение в уравнение:

\(= 2d^2 + 2(R^2 — x^2) + 2x^2\)

Упростим выражение:

\(= 2d^2 + 2R^2\)

Таким образом, сумма квадратов расстояний от точки \(M\) до концов хорды \(C\) и \(D\) равна \(2d^2 + 2R^2\). Это показывает, что сумма не зависит от выбора хорды, так как она зависит только от расстояния \(d\) от центра до точки \(M\) и радиуса \(R\) окружности.