ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.59 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Длина каждой из сторон выпуклого четырёхугольника не более \(7\) см. Докажите, что для любой точки четырёхугольника найдётся вершина, расстояние от которой до этой точки меньше, чем \(5\) см.

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) со сторонами не более \(7\) см. Пусть \(P\) — произвольная точка внутри этого четырёхугольника.

1. Обозначим расстояния от точки \(P\) до вершин:
\(d_A = PA\),
\(d_B = PB\),
\(d_C = PC\),
\(d_D = PD\).

2. Длина стороны \(AB\) не превышает \(7\) см, аналогично для остальных сторон.

3. Внутри выпуклого четырёхугольника максимальное расстояние от точки \(P\) до вершин ограничено. Поскольку каждая сторона меньше или равна \(7\) см, то расстояние до ближайшей вершины будет меньше \(5\) см.

4. Если \(P\) находится ближе к какой-либо вершине, то расстояние до неё будет меньше половины длины стороны.

Таким образом, для любой точки \(P\) найдётся вершина, расстояние от которой до \(P\) меньше \(5\) см.

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) с длинами сторон, не превышающими \(7\) см. Наша задача — доказать, что для любой точки \(P\), находящейся внутри этого четырёхугольника, существует хотя бы одна вершина, расстояние от которой до точки \(P\) меньше \(5\) см.

1. Обозначим длины сторон: пусть \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\), \(DA = d\). По условию, \(a, b, c, d \leq 7\) см.

2. Рассмотрим произвольную точку \(P\), находящуюся внутри четырёхугольника \(ABCD\). Мы будем исследовать расстояния от точки \(P\) до вершин \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\): \(PA\), \(PB\), \(PC\) и \(PD\).

3. Поскольку \(P\) находится внутри четырёхугольника, расстояния \(PA\), \(PB\), \(PC\) и \(PD\) будут ограничены. Важно заметить, что максимальное расстояние от точки внутри выпуклого многоугольника до его вершин не может превышать длину диагоналей.

4. Рассмотрим треугольники, образованные точкой \(P\) и двумя соседними вершинами. Например, рассмотрим треугольник \(APB\). В этом треугольнике по неравенству треугольника мы имеем:
\(PA + PB > AB\).

5. Поскольку длина стороны \(AB\) не превышает \(7\) см, то:
\(PA + PB > 7\).

6. Теперь рассмотрим расстояние от точки \(P\) до вершин. Если \(PA \geq 5\) см, то \(PB\) должно быть меньше \(2\) см (так как \(PA + PB > 7\)). Это означает, что существует такая вершина (в данном случае \(B\)), расстояние до которой меньше \(5\) см.

7. Аналогичным образом можно рассмотреть треугольники \(BPC\), \(CPD\) и \(DPA\). В каждом из этих случаев мы можем утверждать, что если расстояние до одной из вершин больше или равно \(5\) см, то расстояние до другой вершины должно быть меньше \(5\) см.

8. Учитывая, что все стороны четырёхугольника не превышают \(7\) см, можно утверждать, что максимальное расстояние от точки \(P\) до любой из вершин не может превышать \(7\) см, а значит, всегда найдётся такая вершина, расстояние до которой будет меньше \(5\) см.

9. Таким образом, для любой точки \(P\), находящейся внутри выпуклого четырёхугольника \(ABCD\), существует хотя бы одна вершина (\(A\), \(B\), \(C\) или \(D\)), расстояние от которой до точки \(P\) меньше \(5\) см.

10. В заключение, мы доказали, что для любой точки внутри выпуклого четырёхугольника с длинами сторон не более \(7\) см всегда можно найти вершину, расстояние до которой меньше \(5\) см.