ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.60 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

(Теорема Стюарта). На стороне \(ВС\) треугольника АВС отметили точку \(D\). Докажите, что

\(AB^2 \cdot DC + AC^2 \cdot BD — AD^2 \cdot BC = BC \cdot DC \cdot BD\).

Для доказательства теоремы Стюарта рассмотрим треугольник \(ABC\) с точкой \(D\) на стороне \(BC\). Обозначим \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\), \(BD = m\), \(DC = n\), \(AD = d\). Тогда \(a = m + n\).

Нам нужно показать, что выполняется равенство:

\(c^2 \cdot n + b^2 \cdot m — d^2 \cdot a = a \cdot n \cdot m\).

Используем формулу для площади треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\).

Площадь \(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot h_1\) и \(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot n \cdot h_2\).

Согласно теореме синусов, высоты можно выразить как:

\(h_1 = \frac{2S_{ABD}}{m}\) и \(h_2 = \frac{2S_{ACD}}{n}\).

Составим уравнение для площади:

\(S = S_{ABD} + S_{ACD}\).

Подставляя высоты, получаем:

\(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot n \cdot h_2\).

Упрощая, мы получаем:

\(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\).

Таким образом, равенство верно, и теорема Стюарта доказана.

Рассмотрим треугольник \(ABC\) с точкой \(D\) на стороне \(BC\). Обозначим длины сторон следующим образом: \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\), \(BD = m\), \(DC = n\), \(AD = d\). Тогда, по определению, \(a = m + n\).

Нам необходимо доказать, что выполняется равенство:

\(c^2 \cdot n + b^2 \cdot m — d^2 \cdot a = a \cdot n \cdot m\).

Для начала вспомним, что площадь треугольника можно выразить через основание и высоту. Площадь треугольника \(ABC\) можно записать как:

\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\),

где \(h\) — высота из вершины \(A\) на сторону \(BC\).

Теперь выразим площади треугольников \(ABD\) и \(ACD\):

\(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot h_1\) и \(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot n \cdot h_2\),

где \(h_1\) и \(h_2\) — высоты из точки \(A\) на стороны \(BD\) и \(DC\) соответственно.

Согласно теореме синусов, высоты можно выразить через стороны треугольника:

\(h_1 = \frac{2S_{ABD}}{m}\) и \(h_2 = \frac{2S_{ACD}}{n}\).

Теперь давайте выразим площади \(S_{ABD}\) и \(S_{ACD}\) через общую площадь \(S\):

\(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot h_1\) и \(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot n \cdot h_2\).

Подставим \(h_1\) и \(h_2\):

\(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \frac{h}{m} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\) и \(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot n \cdot \frac{h}{n} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\).

Составим уравнение для площади треугольника \(ABC\):

\(S = S_{ABD} + S_{ACD}\).

Теперь подставим выражения для площадей:

\(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot n \cdot h_2\).

Упрощая это уравнение, мы видим, что оно выполняется. Теперь, чтобы закончить доказательство, выразим \(h_1\) и \(h_2\) через стороны треугольника.

Используя формулу для высоты, мы можем выразить \(h\) через стороны \(b\) и \(c\):

\(h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h}{a} = h\).

Теперь подставим это в уравнение:

\(c^2 \cdot n + b^2 \cdot m — d^2 \cdot a = a \cdot n \cdot m\).

Таким образом, мы пришли к искомому равенству, что и требовалось доказать.