ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.61 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение выражения \(\sqrt{1+x^2}-x+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{3}\).

Очевидно, что при \(x = 0\) наименьшее значение не может быть достигнуто. При \(x > 0\) рассмотрите треугольник \(AOB\), у которого \(\angle AOB = 90^\circ\), \(OA = OB = 1\). Постройте луч \(OC\) так, что \(\angle AOC = 60^\circ\), \(\angle BOC = 30^\circ\). Пусть \(M\) — произвольная точка луча \(OC\), отличная от точки \(O\). Обозначим \(OM = x\). Воспользуйтесь тем, что \(MA + MB > AB\).

Рассмотрим треугольник \(AOB\) с вершинами \(A\), \(O\) и \(B\), где угол \(\angle AOB = 90^\circ\), а длины сторон \(OA\) и \(OB\) равны 1. Поскольку \(OA = OB = 1\), мы можем разместить точки в координатной системе: \(O(0, 0)\), \(A(1, 0)\), \(B(0, 1)\).

Теперь построим луч \(OC\) так, чтобы \(\angle AOC = 60^\circ\) и \(\angle BOC = 30^\circ\). Угол \(AOC\) равен \(60^\circ\), что означает, что угол между положительной осью \(OX\) и лучом \(OC\) составляет \(60^\circ\). Таким образом, координаты точки \(C\) можно определить как:

\(C(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ)) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

Аналогично, угол \(BOC\) равен \(30^\circ\), что дает координаты:

\(C(\cos(30^\circ), \sin(30^\circ)) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\).

Теперь пусть \(M\) — произвольная точка на луче \(OC\), отличная от точки \(O\). Обозначим длину \(OM = x\). Тогда координаты точки \(M\) можно записать как:

\(M\left(x \cdot \cos(60^\circ), x \cdot \sin(60^\circ)\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{x\sqrt{3}}{2}\right)\).

Теперь вычислим длины отрезков \(MA\) и \(MB\):

Длина \(MA\) равна:

\(MA = \sqrt{\left(\frac{x}{2} — 1\right)^2 + \left(\frac{x\sqrt{3}}{2} — 0\right)^2}\).

Раскроем скобки:

\(MA = \sqrt{\left(\frac{x}{2} — 1\right)^2 + \left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{x^2}{4} — x + 1\right) + \left(\frac{3x^2}{4}\right)} = \sqrt{(x^2 — x + 1)}\).

Длина \(MB\) равна:

\(MB = \sqrt{\left(\frac{x}{2} — 0\right)^2 + \left(\frac{x\sqrt{3}}{2} — 1\right)^2}\).

Раскроем скобки:

\(MB = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{x\sqrt{3}}{2} — 1\right)^2} = \sqrt{\frac{x^2}{4} + \left(\frac{x\sqrt{3}}{2} — 1\right)^2} = \)
\(=\sqrt{\frac{x^2}{4} + \left(\frac{3x^2}{4} — x\sqrt{3} + 1\right)} = \sqrt{x^2 — x\sqrt{3} + 1}\).

Теперь, согласно неравенству треугольника, имеем:

\(MA + MB > AB\).

Длина отрезка \(AB\) равна:

\(AB = \sqrt{(1 — 0)^2 + (0 — 1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).

Таким образом, неравенство принимает вид:

\(\sqrt{x^2 — x + 1} + \sqrt{x^2 — x\sqrt{3} + 1} > \sqrt{2}\).

Теперь мы можем исследовать это неравенство. Для этого возведем обе стороны в квадрат:

\((\sqrt{x^2 — x + 1} + \sqrt{x^2 — x\sqrt{3} + 1})^2 > 2\).

Раскроем скобки:

\(x^2 — x + 1 + x^2 — x\sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{(x^2 — x + 1)(x^2 — x\sqrt{3} + 1)} > 2\).

Упростим:

\(2x^2 — x(1 + \sqrt{3}) + 2 + 2\sqrt{(x^2 — x + 1)(x^2 — x\sqrt{3} + 1)} > 2\).

Сократим 2:

\(2x^2 — x(1 + \sqrt{3}) + 2\sqrt{(x^2 — x + 1)(x^2 — x\sqrt{3} + 1)} > 0\).

Таким образом, мы получили неравенство, которое необходимо исследовать для нахождения значений \(x\), при которых оно выполняется.