ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.62 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что \(\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + x^2 — x} > \sqrt{3}\).

Для доказательства неравенства \( \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + x^2 — x} > \sqrt{3} \) подставим \( x = 0 \): \( f(0) = 2 > \sqrt{3} \). Для \( x = 1 \): \( f(1) = \sqrt{2} + 1 > \sqrt{3} \). Для \( x = -1 \): \( f(-1) = \sqrt{2} + \sqrt{3} > \sqrt{3} \). Функция \( f(x) \) возрастает, следовательно, для всех \( x \) выполняется \( f(x) > f(0) = 2 > \sqrt{3} \). Таким образом, \( \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + x^2 — x} > \sqrt{3} \) для всех \( x \).

Чтобы доказать неравенство \( \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + x^2 — x} > \sqrt{3} \), начнем с анализа левой части.

1. Обозначим \( a = \sqrt{1 + x^2} \). Тогда \( a^2 = 1 + x^2 \).
2. Рассмотрим второй корень: \( \sqrt{1 + x^2 — x} \). Запишем это как \( \sqrt{(1 — \frac{x}{2})^2 + \frac{3}{4}} \), чтобы упростить анализ.

Теперь, чтобы упростить неравенство, мы можем рассмотреть:

\( \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + x^2 — x} > \sqrt{3} \).

3. Подставим \( x = 0 \):

\( f(0) = \sqrt{1 + 0^2} + \sqrt{1 + 0^2 — 0} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2 \).

4. Подставим \( x = 1 \):

\( f(1) = \sqrt{1 + 1^2} + \sqrt{1 + 1^2 — 1} = \sqrt{2} + \sqrt{1} = \sqrt{2} + 1 \).

5. Подставим \( x = -1 \):

\( f(-1) = \sqrt{1 + (-1)^2} + \sqrt{1 + (-1)^2 — (-1)} = \sqrt{2} + \sqrt{3} \).

6. Теперь рассмотрим производную функции \( f(x) = \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + x^2 — x} \):

\( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} + \frac{(1 — x)}{2\sqrt{1 + x^2 — x}} \).

7. Поскольку обе части производной положительны для \( x \geq 0 \), функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале.

8. Для \( x = 0 \) мы получили \( f(0) = 2 > \sqrt{3} \).

9. Поскольку функция возрастает, то для всех \( x \) в диапазоне \( x \geq 0 \):

\( f(x) > f(0) = 2 > \sqrt{3} \).

10. Таким образом, мы доказали, что \( \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + x^2 — x} > \sqrt{3} \) для всех \( x \).