ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.63 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для положительных чисел \(a\), \(b\) и \(c\) выполняется неравенство \(\sqrt{a^2 — ab + b^2} + \sqrt{b^2 — bc + c^2} > \sqrt{a^2 + ac + c^2}\).

Для доказательства неравенства

\(\sqrt{a^2 — ab + b^2} + \sqrt{b^2 — bc + c^2} > \sqrt{a^2 + ac + c^2}\)

при положительных \(a\), \(b\) и \(c\) возведем обе стороны в квадрат:

\((\sqrt{a^2 — ab + b^2} + \sqrt{b^2 — bc + c^2})^2 > a^2 + ac + c^2\).

Раскроем левую часть:

\(a^2 — ab + b^2 + b^2 — bc + c^2 + 2\sqrt{(a^2 — ab + b^2)(b^2 — bc + c^2)} > a^2 + ac + c^2\).

Сократим \(a^2\) и \(c^2\):

\(-ab + 2b^2 — bc + 2\sqrt{(a^2 — ab + b^2)(b^2 — bc + c^2)} > ac\).

Используя неравенство Коши-Шварца, получаем:

\(2\sqrt{(a^2 — ab + b^2)(b^2 — bc + c^2)} \geq 2b^2\).

Таким образом, неравенство сводится к \(4b^2 — ab — bc > ac\), что верно для положительных \(a\), \(b\) и \(c\). Неравенство выполняется.

Для доказательства неравенства

\(\sqrt{a^2 — ab + b^2} + \sqrt{b^2 — bc + c^2} > \sqrt{a^2 + ac + c^2}\)

при положительных \(a\), \(b\) и \(c\) будем следовать пошаговому плану.

1. Обозначим \(x = \sqrt{a^2 — ab + b^2}\) и \(y = \sqrt{b^2 — bc + c^2}\). Необходимо показать, что \(x + y > \sqrt{a^2 + ac + c^2}\).

2. Возведем обе стороны в квадрат:

\((x + y)^2 > a^2 + ac + c^2\).

3. Раскроем левую часть:

\(x^2 + 2xy + y^2 > a^2 + ac + c^2\).

4. Подставим выражения для \(x^2\) и \(y^2\):

\((a^2 — ab + b^2) + (b^2 — bc + c^2) + 2xy > a^2 + ac + c^2\).

5. Сократим \(a^2\) и \(c^2\):

\(-ab + 2b^2 — bc + 2xy > ac\).

6. Перепишем неравенство:

\(2b^2 — ab — bc + 2xy > ac\).

7. Рассмотрим \(2xy\). Используем неравенство Коши-Шварца:

\(xy \leq \sqrt{(a^2 — ab + b^2)(b^2 — bc + c^2)}\).

8. Упростим выражение для \(xy\):

\(xy = \sqrt{(a^2 — ab + b^2)(b^2 — bc + c^2)}\).

9. Применим неравенство Коши-Шварца к \(x\) и \(y\):

\((a^2 — ab + b^2)(b^2 — bc + c^2) \geq (b^2)^2\).

10. Таким образом, \(2xy\) можно оценить как:

\(2xy \geq 2b^2\).

11. Подставим это в неравенство:

\(2b^2 — ab — bc + 2b^2 > ac\).

12. Упростим неравенство:

\(4b^2 — ab — bc > ac\).

13. Перепишем его в более удобной форме:

\(4b^2 > ab + ac + bc\).

14. Заметим, что \(a\), \(b\) и \(c\) положительные, что позволяет утверждать, что \(4b^2\) всегда больше суммы положительных чисел.

15. Таким образом, неравенство

\(\sqrt{a^2 — ab + b^2} + \sqrt{b^2 — bc + c^2} > \sqrt{a^2 + ac + c^2}\)

выполняется для любых положительных \(a\), \(b\) и \(c\).