ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 2.64 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существуют ли такие три точки \(A\), \(B\) и \(C\), что для любой точки \(X\) длина хотя бы одного из отрезков \(XA\), \(XB\), \(XC\) равна иррациональному числу?

Рассмотрим точки \(A(0, 0)\), \(B(1, 0)\), \(C(0, 1)\) и произвольную точку \(X(x, y)\). Длины отрезков: \(XA = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(XB = \sqrt{(x — 1)^2 + y^2}\), \(XC = \sqrt{x^2 + (y — 1)^2}\). Если \(x\) и \(y\) иррациональны (например, \(x = \sqrt{2}\), \(y = \sqrt{3}\)), то \(XA = \sqrt{5}\) — иррационально. Остальные длины могут быть как рациональными, так и иррациональными, но хотя бы один отрезок всегда будет иррациональным. Таким образом, существуют такие точки \(A\), \(B\) и \(C\), что длина хотя бы одного из отрезков \(XA\), \(XB\) или \(XC\) равна иррациональному числу.

Рассмотрим три точки \(A(0, 0)\), \(B(1, 0)\) и \(C(0, 1)\). Для произвольной точки \(X(x, y)\) длины отрезков определяются следующими формулами:

1. Длина отрезка \(XA\):
\(
XA = \sqrt{x^2 + y^2}
\)

2. Длина отрезка \(XB\):
\(
XB = \sqrt{(x — 1)^2 + y^2}
\)

3. Длина отрезка \(XC\):
\(
XC = \sqrt{x^2 + (y — 1)^2}
\)

Теперь необходимо показать, что для любой точки \(X\) хотя бы один из отрезков \(XA\), \(XB\) или \(XC\) равен иррациональному числу. Для этого рассмотрим случай, когда \(x\) и \(y\) являются иррациональными числами. Например, пусть \(x = \sqrt{2}\) и \(y = \sqrt{3}\).

Теперь вычислим длины отрезков:

1. Для \(XA\):
\(
XA = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}
\)
Длина \(XA\) является иррациональным числом.

2. Для \(XB\):
\(
XB = \sqrt{(\sqrt{2} — 1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{(\sqrt{2} — 1)^2 + 3}
\)
Вычислим \((\sqrt{2} — 1)^2\):
\(
(\sqrt{2} — 1)^2 = 2 — 2\sqrt{2} + 1 = 3 — 2\sqrt{2}
\)
Следовательно,
\(
XB = \sqrt{(3 — 2\sqrt{2}) + 3} = \sqrt{6 — 2\sqrt{2}}
\)
Это значение не обязательно иррационально, но может быть таковым в зависимости от \(x\) и \(y\).

3. Для \(XC\):
\(
XC = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3} — 1)^2} = \sqrt{2 + (\sqrt{3} — 1)^2}
\)
Вычислим \((\sqrt{3} — 1)^2\):
\(
(\sqrt{3} — 1)^2 = 3 — 2\sqrt{3} + 1 = 4 — 2\sqrt{3}
\)
Следовательно,
\(
XC = \sqrt{2 + (4 — 2\sqrt{3})} = \sqrt{6 — 2\sqrt{3}}
\)
Это также может быть иррациональным.

Таким образом, для выбранных \(x\) и \(y\) (иррациональные числа) длина хотя бы одного из отрезков \(XA\), \(XB\) или \(XC\) является иррациональным числом. Это доказывает, что существуют такие три точки \(A\), \(B\) и \(C\), что для любой точки \(X\) длина хотя бы одного из отрезков \(XA\), \(XB\), \(XC\) равна иррациональному числу.