ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, является её осью симметрии.

Пусть \(M\) и \(N\) — середины оснований \(AB\) и \(CD\) равнобокой трапеции \(ABCD\). Тогда \(AM = MB\) и \(CN = ND\). Отражение относительно прямой \(MN\) переводит точку \(A\) в \(B\), а \(D\) в \(C\), так как боковые стороны равны \(AD = BC\). Следовательно, трапеция симметрична относительно прямой \(MN\), то есть \(MN\) — ось симметрии.

Рассмотрим равнобокую трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\), где \(AB \parallel CD\) и боковые стороны равны: \(AD = BC\). Обозначим точки \(M\) и \(N\) как середины оснований \(AB\) и \(CD\) соответственно, то есть \(AM = MB\) и \(CN = ND\). Прямая \(MN\) соединяет эти середины, и нам нужно доказать, что она является осью симметрии трапеции.

Для этого рассмотрим отражение трапеции относительно прямой \(MN\). Поскольку \(M\) и \(N\) лежат на этой прямой, они при отражении переходят сами в себя. Теперь рассмотрим точки \(A\) и \(B\). Так как \(M\) — середина отрезка \(AB\), отражение точки \(A\) относительно прямой \(MN\) должно совпадать с точкой \(B\), а точка \(B\) — с точкой \(A\). Аналогично, \(N\) — середина отрезка \(CD\), значит отражение точки \(C\) относительно \(MN\) совпадает с точкой \(D\), а точки \(D\) — с \(C\). Таким образом, отражение переставляет концы оснований местами.

Кроме того, боковые стороны равны: \(AD = BC\). При отражении точка \(A\) переходит в \(B\), а \(D\) в \(C\), значит отрезок \(AD\) переходит в отрезок \(BC\), и наоборот. Это сохраняет длины и форму трапеции. Поскольку отражение относительно \(MN\) переводит все вершины трапеции в соответствующие вершины, сохраняет длины и углы, трапеция симметрична относительно прямой \(MN\). Следовательно, прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, является её осью симметрии.