ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.

Пусть \( ABC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( BC \), \( AM \) — медиана, \( M \) — середина \( BC \). Тогда \( BM = MC \) и \( AB = AC \). Треугольники \( ABM \) и \( ACM \) равны по двум сторонам и углу между ними: \( AB = AC \), \( BM = MC \), \( AM \) — общая сторона. Значит прямая \( AM \) является осью симметрии треугольника \( ABC \).

Рассмотрим равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( BC \), где \( AB = AC \). Пусть \( AM \) — медиана, проведённая к основанию \( BC \), и \( M \) — середина отрезка \( BC \). По определению медианы точка \( M \) делит отрезок \( BC \) пополам, то есть \( BM = MC \). Это важное свойство, которое будет использоваться для доказательства симметрии. Поскольку \( AB = AC \), треугольник обладает равенством боковых сторон, что указывает на возможность существования оси симметрии.

Далее рассмотрим треугольники \( ABM \) и \( ACM \). В них сторона \( AM \) общая, так как медиана является одной и той же линией в обоих треугольниках. Кроме того, по условию \( BM = MC \), так как \( M \) — середина основания. Также известно, что \( AB = AC \) по равнобедренности треугольника. Следовательно, у треугольников \( ABM \) и \( ACM \) равны две стороны и угол между ними, что позволяет утверждать, что эти треугольники равны по признаку равенства треугольников — две стороны и угол между ними.

Из равенства треугольников \( ABM \) и \( ACM \) следует, что угол \( BAM \) равен углу \( CAM \), а значит прямая \( AM \) делит угол при вершине \( A \) пополам. Это означает, что при отражении относительно прямой \( AM \) точка \( B \) переходит в точку \( C \), а \( C \) — в \( B \), при этом вершина \( A \) остаётся неподвижной. Таким образом, прямая \( AM \) является осью симметрии треугольника \( ABC \), поскольку она отражает одну боковую сторону в другую и сохраняет вершину \( A \), что и требовалось доказать.