ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Диагонали ромба \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), деля друг друга пополам и перпендикулярны. Отражение относительно прямой \(AC\) переводит точку \(B\) в \(D\), а \(D\) в \(B\), при этом \(A\) и \(C\) остаются на месте, значит ромб симметричен относительно \(AC\). Аналогично, отражение относительно \(BD\) переводит \(A\) в \(C\), \(C\) в \(A\), а \(B\) и \(D\) остаются на месте, значит ромб симметричен относительно \(BD\). Следовательно, прямые, содержащие диагонали ромба, являются осями симметрии.

Ромб — это параллелограмм с равными сторонами, у которого диагонали пересекаются в одной точке \(O\) и делятся этой точкой пополам. Обозначим диагонали ромба как \(AC\) и \(BD\). Из свойств ромба известно, что диагонали перпендикулярны, то есть угол между ними равен 90 градусам, то есть \(AC \perp BD\). Это значит, что при пересечении в точке \(O\) выполняется равенство \(AO = OC\) и \(BO = OD\).

Рассмотрим отражение относительно прямой, содержащей диагональ \(AC\). Точка \(O\), лежащая на этой прямой, при отражении остается неподвижной. Поскольку диагонали перпендикулярны, точки \(B\) и \(D\) находятся по разные стороны от прямой \(AC\) на одинаковом расстоянии от неё. При отражении точки \(B\) относительно \(AC\) она перейдет в точку \(D\), а точка \(D\) перейдет в \(B\). При этом точки \(A\) и \(C\) лежат на самой оси отражения, поэтому они не меняют своего положения. Таким образом, отражение относительно прямой \(AC\) переводит ромб в себя, то есть эта прямая является осью симметрии ромба.

Аналогично рассмотрим отражение относительно прямой, содержащей диагональ \(BD\). Точка \(O\) также неподвижна. Точки \(A\) и \(C\) при отражении относительно \(BD\) переходят друг в друга, так как они расположены симметрично относительно этой прямой. Точки \(B\) и \(D\) лежат на оси отражения и остаются на месте. Таким образом, отражение относительно прямой \(BD\) также переводит ромб в себя. Следовательно, обе диагонали ромба являются осями симметрии, поскольку отражение относительно каждой из них сохраняет фигуру.