ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что прямые, проходящие через середины противолежащих сторон прямоугольника, являются его осями симметрии.
Пусть \(P\) и \(Q\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\) прямоугольника \(ABCD\). Тогда \(BP = PA\), \(CQ = QD\). Прямая \(PQ\) перпендикулярна сторонам \(BC\) и \(AD\) и делит их пополам, значит отражение относительно \(PQ\) переводит \(B\) в \(C\), а \(A\) в \(D\). Следовательно, \(PQ\) — ось симметрии прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\) с точками \(P\) и \(Q\), которые являются серединами сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. По определению середины отрезка, точки \(P\) и \(Q\) делят стороны \(AB\) и \(CD\) на равные части, то есть \(AP = PB\) и \(CQ = QD\). Это означает, что \(P\) и \(Q\) находятся ровно посередине своих сторон. Прямая, проходящая через эти точки, обозначим её как \(PQ\), соединяет середины противоположных сторон прямоугольника.
Далее рассмотрим свойства этой прямой \(PQ\). В прямоугольнике стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, а стороны \(BC\) и \(AD\) также параллельны между собой и перпендикулярны \(AB\) и \(CD\). Поскольку \(P\) и \(Q\) — середины противоположных сторон, прямая \(PQ\) будет проходить через середины этих сторон и будет параллельна сторонам \(BC\) и \(AD\). Таким образом, \(PQ\) перпендикулярна сторонам \(AB\) и \(CD\). Важно отметить, что \(PQ\) делит отрезки \(BC\) и \(AD\) пополам, так как она проходит через середины этих отрезков при отражении.
Теперь рассмотрим отражение прямоугольника относительно оси, совпадающей с прямой \(PQ\). При таком отражении точка \(B\) перейдёт в точку \(C\), так как \(PQ\) делит отрезок \(BC\) пополам и является его осью симметрии. Аналогично, точка \(A\) перейдёт в точку \(D\), так как \(PQ\) также делит отрезок \(AD\) пополам. Следовательно, отражение относительно прямой \(PQ\) сохраняет фигуру прямоугольника, меняя местами пары противоположных вершин. Значит, прямая \(PQ\) является осью симметрии прямоугольника \(ABCD\).
