ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.

Прямая, содержащая биссектрису угла, делит угол на два равных угла \( \angle AB0 = \angle CB0 \). При отражении относительно этой прямой луч \(BA\) переходит в луч \(BC\), значит прямая является осью симметрии угла.

Биссектриса угла — это луч, который делит угол на два равных по величине угла. Если обозначить угол как \( \angle ABC \), а биссектрису как луч \( BO \), то по определению выполняется равенство \( \angle AB0 = \angle CB0 \). Это означает, что точка \( O \) лежит на таком луче, что угол \( ABC \) разделён на две равные части. Таким образом, луч \( BO \) является своеобразной «линией равенства» внутри угла.

Рассмотрим теперь отражение фигуры относительно прямой, проходящей через биссектрису \( BO \). При этом отражении точка \( B \), лежащая на оси симметрии, не изменит своего положения, так как она лежит на самой оси. Луч \( BA \), который образует угол с биссектрисой, отразится на луч \( BC \), так как углы \( \angle AB0 \) и \( \angle CB0 \) равны. Это равенство углов гарантирует, что отражение одного луча совпадёт с другим, то есть отражение угла \( ABC \) относительно прямой \( BO \) даст тот же угол \( ABC \).

Из этого следует, что прямая, содержащая биссектрису угла, является осью симметрии этого угла. Она делит угол на две равные части, и при отражении относительно этой прямой одна сторона угла переходит в другую. Таким образом, свойства биссектрисы обеспечивают симметрию угла относительно прямой, на которой она лежит.