ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в точках А и В. Докажите, что точки А и В симметричны относительно прямой О1О2.

Точки \(A\) и \(B\) лежат на обеих окружностях, значит \(O_1A = O_1B\) и \(O_2A = O_2B\). Прямая \(O_1O_2\) является осью симметрии для отрезка \(AB\), так как перпендикуляр из центра окружности на хорду делит её пополам. Следовательно, точки \(A\) и \(B\) симметричны относительно прямой \(O_1O_2\).

Две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Эти точки принадлежат обеим окружностям, следовательно, расстояния от центров до точек пересечения равны радиусам соответствующих окружностей: \(O_1A = O_1B = R_1\) и \(O_2A = O_2B = R_2\). Таким образом, точки \(A\) и \(B\) лежат на окружностях с центрами \(O_1\) и \(O_2\) и радиусами \(R_1\) и \(R_2\) соответственно. Это означает, что \(A\) и \(B\) — общие точки двух окружностей.

Рассмотрим отрезок \(AB\), который является хордой для обеих окружностей. Известно, что перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Значит, если провести перпендикуляры из точек \(O_1\) и \(O_2\) к отрезку \(AB\), они пересекут его в точках, делящих \(AB\) на равные части. При этом прямая, соединяющая центры \(O_1\) и \(O_2\), является общей осью симметрии для точек \(A\) и \(B\), так как она проходит через середину отрезка \(AB\) и перпендикулярна ему.

Таким образом, точки \(A\) и \(B\) симметричны относительно прямой \(O_1O_2\), потому что эта прямая является осью симметрии для отрезка \(AB\). Это означает, что при отражении точки \(A\) относительно прямой \(O_1O_2\) получится точка \(B\), и наоборот. Поэтому доказано, что точки пересечения двух окружностей с центрами \(O_1\) и \(O_2\) симметричны относительно прямой, соединяющей эти центры.