ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что треугольник, имеющий ось симметрии, является равнобедренным.

Eсли треугольник имеет ось симметрии \( l \), то при отражении относительно \( l \) вершина, лежащая на \( l \), остаётся неподвижной, а две другие вершины переходят друг в друга. Следовательно, стороны, исходящие из этой вершины, равны: \( AB = AC \). Значит, треугольник равнобедренный.

Если треугольник имеет ось симметрии \( l \), это означает, что при отражении относительно этой прямой треугольник совпадает сам с собой. Рассмотрим, как отражение действует на вершины треугольника. Поскольку фигура симметрична относительно \( l \), каждая точка треугольника либо лежит на оси симметрии, либо отображается в другую точку треугольника. В частности, вершины треугольника при отражении либо остаются на месте (если они лежат на оси), либо переходят друг в друга.

Пусть вершина \( A \) лежит на оси симметрии \( l \). Тогда при отражении она остаётся неподвижной. Вершины \( B \) и \( C \), не лежащие на \( l \), переходят друг в друга. Отражение сохраняет расстояния, значит длины отрезков \( AB \) и \( AC \) равны, то есть \( AB = AC \). Это означает, что треугольник \( ABC \) равнобедренный с основанием \( BC \). Если ось симметрии проходит через вершину, то она делит треугольник на две зеркально равные части, что и обеспечивает равенство боковых сторон.

Если же ось симметрии не проходит через вершины, а пересекает сторону треугольника, то она делит эту сторону на две равные части, а две оставшиеся вершины переходят друг в друга при отражении. В этом случае тоже получается, что две стороны треугольника равны, поскольку отражение сохраняет длины. Таким образом, независимо от положения оси симметрии, треугольник с осью симметрии обязательно равнобедренный, так как у него есть две равные стороны, соответствующие вершинам, переходящим друг в друга при отражении.