ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что треугольник, имеющий две оси симметрии, является равносторонним. Может ли треугольник иметь ровно две оси симметрии?

Если у треугольника две оси симметрии, то каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны, значит \(AB=AC\) и \(AB=BC\), откуда следует \(AB=BC=AC\), то есть треугольник равносторонний. Треугольник не может иметь ровно две оси симметрии, так как равносторонний имеет три оси, равнобедренный — одну, а разносторонний — ни одной.

Если треугольник имеет ось симметрии, то эта ось обязательно проходит через вершину и середину противоположной стороны, что означает равенство двух сторон, прилежащих к этой вершине. Пусть первая ось симметрии проходит через вершину \(A\) и середину стороны \(BC\), тогда по определению оси симметрии \(AB = AC\). Аналогично, если существует вторая ось симметрии, она должна проходить через другую вершину, например \(B\), и середину противоположной стороны \(AC\), что даёт равенство \(BA = BC\). Поскольку \(BA = AB\), из двух равенств следует, что \(AC = BC\). Таким образом, получается, что все три стороны равны: \(AB = BC = AC\), то есть треугольник равносторонний.

Рассмотрим теперь, может ли треугольник иметь ровно две оси симметрии. Равносторонний треугольник обладает тремя осями симметрии, каждая из которых проходит через вершину и середину противоположной стороны. Равнобедренный треугольник, у которого две стороны равны, имеет только одну ось симметрии — ту, которая проходит через вершину, прилегающую к равным сторонам, и середину основания. Если треугольник разносторонний, то осей симметрии у него нет вообще. Следовательно, количество осей симметрии у треугольника может быть только 0, 1 или 3, но не 2.

Таким образом, если треугольник имеет две оси симметрии, то он обязательно равносторонний, поскольку равенство сторон вытекает из свойств осей симметрии. При этом треугольник не может иметь ровно две оси симметрии, так как для равностороннего треугольника характерно именно три оси симметрии, а для равнобедренного — только одна. Это исключает возможность существования треугольника с ровно двумя осями симметрии.