ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, то он является или прямоугольником, или ромбом.

Если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, то эти оси либо проходят через середины противоположных сторон, либо через диагонали. В первом случае параллелограмм — ромб (все стороны равны), во втором — прямоугольник (диагонали равны и перпендикулярны). Других вариантов с ровно двумя осями симметрии не существует. Следовательно, параллелограмм с двумя осями симметрии — либо ромб, либо прямоугольник.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны. Ось симметрии — это прямая, относительно которой фигура отображается сама на себя. Если у параллелограмма есть ось симметрии, то при отражении относительно этой оси он совпадает с самим собой. Рассмотрим, какие оси симметрии могут быть у параллелограмма и что они означают для его формы.

Во-первых, ось симметрии может проходить через середины противоположных сторон. Если параллелограмм симметричен относительно такой оси, значит, при отражении одна сторона переходит в противоположную, а вершины смещаются соответственно. Это возможно только если все стороны равны, то есть параллелограмм является ромбом. В ромбе противоположные стороны равны, и ось симметрии, проходящая через середины пар противоположных сторон, существует. Следовательно, наличие такой оси указывает на то, что параллелограмм — ромб.

Во-вторых, ось симметрии может совпадать с диагональю параллелограмма. Тогда при отражении относительно этой оси вершины меняются местами по диагонали. Для этого диагонали должны быть равны и перпендикулярны, что характерно для прямоугольника. В прямоугольнике диагонали равны, и ось симметрии, совпадающая с диагональю, существует. Если параллелограмм имеет две такие оси симметрии, совпадающие с диагоналями, он является прямоугольником.

Если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, то они либо обе проходят через середины противоположных сторон (ромб), либо обе совпадают с диагоналями (прямоугольник). Других вариантов с ровно двумя осями симметрии у параллелограмма нет. Если бы было больше осей, это был бы квадрат, у которого четыре оси симметрии. Если ось одна или отсутствует — это просто общий параллелограмм без дополнительных свойств. Таким образом, параллелограмм с ровно двумя осями симметрии обязательно является либо ромбом, либо прямоугольником.