ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что если четырёхугольник имеет четыре оси симметрии, то он является квадратом.
Если четырёхугольник имеет 4 оси симметрии, то он симметричен относительно двух осей, проходящих через противоположные вершины, и двух осей, проходящих через середины противоположных сторон. Это возможно только для квадрата, у которого все стороны равны и все углы равны \(90^\circ\). Следовательно, такой четырёхугольник — квадрат.
Если четырёхугольник обладает четырьмя осями симметрии, то каждая из этих осей делит фигуру на две зеркально равные части. При этом оси симметрии для четырёхугольника могут проходить либо через пары противоположных вершин, либо через середины противоположных сторон. Наличие четырёх осей симметрии означает, что две из них проходят через противоположные вершины, а две другие — через середины противоположных сторон. Это свойство характерно только для квадрата.
Рассмотрим сначала оси, проходящие через противоположные вершины. Такая ось симметрии гарантирует, что противоположные стороны параллельны и равны, так как отражение относительно этой оси переводит одну сторону в другую. Следовательно, четырёхугольник с такими осями симметрии является параллелограммом. Далее, оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон, требуют, чтобы стороны, которые отражаются друг в друга, были равны по длине. Это условие исключает возможность ромба с разными углами, так как стороны должны быть равны, а углы — одинаковы.
Кроме того, совокупность всех четырёх осей симметрии накладывает жёсткие условия на углы четырёхугольника. Симметрия относительно осей, проходящих через вершины, и осей, проходящих через середины сторон, требует, чтобы все углы были равны между собой. Поскольку сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\), то каждый угол равен \( \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ \). Таким образом, четырёхугольник с четырьмя осями симметрии — это равносторонний параллелограмм с прямыми углами, то есть квадрат.
