ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка М принадлежит прямому углу АВС (рис. 20.27). Точки М1 и М2 образы точки М при симметрии относительно прямых ВА и ВС соответственно. Докажите, что точки М1, В, М2 лежат на одной прямой.

Пусть \( B = (0,0) \), \( BA \) по оси \( x \), \( BC \) по оси \( y \), тогда \( M = (x,y) \), где \( x \geq 0, y \geq 0 \).
Точки после симметрии: \( M_1 = (x,-y) \), \( M_2 = (-x,y) \).
Угловые коэффициенты прямых \( BM_1 \) и \( BM_2 \) равны \( \frac{-y}{x} \) и \( \frac{y}{-x} = -\frac{y}{x} \) соответственно, значит точки \( M_1, B, M_2 \) лежат на одной прямой.

Рассмотрим угол \( \angle ABC \) с вершиной в точке \( B \), который является прямым, то есть равен \( 90^\circ \). Пусть прямая \( BA \) расположена вдоль оси \( x \), а прямая \( BC \) — вдоль оси \( y \) в декартовой системе координат. Тогда точка \( B \) имеет координаты \( (0,0) \), а точка \( M \), лежащая внутри этого угла, будет иметь координаты \( (x,y) \), где \( x \geq 0 \) и \( y \geq 0 \). Эти условия соответствуют тому, что \( M \) находится внутри первого квадранта, ограниченного осями \( x \) и \( y \).

Теперь рассмотрим симметрии точки \( M \) относительно прямых \( BA \) и \( BC \). Симметрия относительно прямой \( BA \), которая совпадает с осью \( x \), изменяет знак координаты \( y \), оставляя \( x \) неизменным. Таким образом, образ точки \( M \) при симметрии относительно \( BA \) — точка \( M_1 \) с координатами \( (x,-y) \). Аналогично, симметрия относительно прямой \( BC \), совпадающей с осью \( y \), меняет знак координаты \( x \), оставляя \( y \) неизменным. Тогда образ точки \( M \) при симметрии относительно \( BC \) — точка \( M_2 \) с координатами \( (-x,y) \).

Чтобы доказать, что точки \( M_1 \), \( B \) и \( M_2 \) лежат на одной прямой, найдем угловые коэффициенты прямых, проходящих через \( B \) и каждую из точек \( M_1 \) и \( M_2 \). Угловой коэффициент прямой через \( B(0,0) \) и \( M_1(x,-y) \) равен \( k_1 = \frac{-y — 0}{x — 0} = \frac{-y}{x} \). Аналогично, угловой коэффициент прямой через \( B \) и \( M_2(-x,y) \) равен \( k_2 = \frac{y — 0}{-x — 0} = \frac{y}{-x} = -\frac{y}{x} \). Поскольку \( k_1 = k_2 \), эти две точки вместе с \( B \) лежат на одной прямой с угловым коэффициентом \( -\frac{y}{x} \). Это доказывает искомое утверждение.