ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, лежит на его диагонали. Докажите, что этот четырёхугольник имеет ось симметрии.

Центр вписанной окружности \(O\) лежит на диагонали \(AC\), значит биссектрисы углов \(A\) и \(C\) совпадают с \(AC\), следовательно, углы \(A\) и \(C\) равны. Из равенства треугольников \(ABO\) и \(CDO\) по признаку угол-сторона-угол следует, что \(AB = CD\) и углы \(B = D\). Значит, диагональ \(AC\) является осью симметрии четырёхугольника.

Центр вписанной окружности четырёхугольника \(O\) — точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника. Если этот центр лежит на диагонали \(AC\), то биссектрисы углов \(A\) и \(C\) совпадают с этой диагональю. Это означает, что углы при вершинах \(A\) и \(C\) равны, так как диагональ \(AC\) делит эти углы пополам и является общей биссектрисой для них. Из равенства биссектрис следует, что углы \(A\) и \(C\) имеют одинаковую величину.

Рассмотрим треугольники \(ABO\) и \(CDO\), где \(O\) — центр окружности, лежащий на диагонали \(AC\). В этих треугольниках \(AO = CO\), поскольку \(O\) лежит на отрезке \(AC\). Кроме того, углы при вершинах \(A\) и \(C\) равны, а углы при вершине \(O\) равны, так как \(O\) — центр вписанной окружности, и касательные к четырёхугольнику из точки \(O\) равны по длине. По признаку равенства треугольников угол-сторона-угол получаем, что треугольники \(ABO\) и \(CDO\) равны.

Из равенства треугольников вытекает, что стороны \(AB\) и \(CD\) равны, а также равны углы \(B\) и \(D\). Это означает, что четырёхугольник симметричен относительно диагонали \(AC\), которая является осью симметрии. Следовательно, если центр вписанной окружности лежит на диагонали четырёхугольника, то этот четырёхугольник обязательно обладает осью симметрии, совпадающей с данной диагональю.