ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что выпуклый четырёхугольник, имеющий ось симметрии, является или вписанным в окружность, или описанным около окружности.

Если ось симметрии проходит через две противоположные вершины, то четырёхугольник вписан в окружность, так как суммы противоположных углов равны \(180^\circ\): \(\angle A + \angle C = 180^\circ\). Если ось симметрии проходит через середины двух противоположных сторон, то четырёхугольник описан около окружности, так как суммы противоположных сторон равны: \(AB + CD = BC + AD\).

Если выпуклый четырёхугольник имеет ось симметрии, то эта ось делит его на две равные части, что накладывает строгие геометрические ограничения на его стороны и углы. Рассмотрим первый случай, когда ось симметрии проходит через две противоположные вершины, например, через \(A\) и \(C\). В этом случае вершины \(B\) и \(D\) являются симметричными относительно оси, следовательно, отрезки \(AB\) и \(AD\) равны по длине, а также углы при вершинах \(B\) и \(D\) равны. Из этого следует, что суммы противоположных углов четырёхугольника удовлетворяют условию: \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) и \(\angle B + \angle D = 180^\circ\). Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы четырёхугольник был вписан в окружность.

Во втором случае ось симметрии проходит через середины двух противоположных сторон, например, через середины \(AB\) и \(CD\). Тогда вершины \(A\) и \(B\) симметричны относительно оси, как и вершины \(D\) и \(C\). Из этого симметричного расположения следует, что противоположные стороны четырёхугольника равны по длине: \(AB = CD\) и \(AD = BC\). Для того чтобы четырёхугольник был описан около окружности, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин противоположных сторон были равны, то есть выполнялось равенство \(AB + CD = BC + AD\). В данном случае оно выполняется автоматически из-за симметрии.

Таким образом, в зависимости от положения оси симметрии, выпуклый четырёхугольник либо вписан в окружность (если ось проходит через противоположные вершины), либо описан около окружности (если ось проходит через середины противоположных сторон). Другие варианты расположения оси симметрии невозможны для выпуклого четырёхугольника или приводят к нарушению условий выпуклости и симметрии.