ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки А и В симметричны относительно прямой l (рис. 20.21). Постройте прямую l.

Пусть \( A \) и \( B \) — симметричные точки относительно прямой \( l \). Тогда прямая \( l \) — это серединный перпендикуляр к отрезку \( AB \), проходящий через середину \( M \) отрезка \( AB \).

Если точки \( A \) и \( B \) симметричны относительно прямой \( l \), это означает, что прямая \( l \) является осью симметрии для этих точек. В геометрии ось симметрии для двух точек — это прямая, которая делит отрезок, соединяющий эти точки, на две равные части и при этом является перпендикулярной к этому отрезку. Чтобы построить такую прямую, нужно сначала найти середину отрезка \( AB \). Точка середины \( M \) вычисляется по формуле \( M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \), где \( (x_A, y_A) \) и \( (x_B, y_B) \) — координаты точек \( A \) и \( B \) соответственно.

Далее необходимо провести прямую, проходящую через точку \( M \) и перпендикулярную отрезку \( AB \). Если у отрезка \( AB \) есть направляющий вектор \( \vec{v} = (x_B — x_A, y_B — y_A) \), то вектор, перпендикулярный ему, будет равен \( \vec{v_\perp} = (-(y_B — y_A), x_B — x_A) \). Прямая \( l \), проходящая через \( M \) и имеющая направляющий вектор \( \vec{v_\perp} \), и есть искомая ось симметрии. Такая прямая гарантирует, что расстояния от точек \( A \) и \( B \) до \( l \) равны, а сами точки являются зеркальным отражением друг друга относительно этой прямой.

Таким образом, построение прямой \( l \) сводится к двум основным шагам: нахождению середины отрезка \( AB \) и проведению перпендикуляра к этому отрезку через найденную середину. Это единственный способ построить прямую, относительно которой точки \( A \) и \( B \) будут симметричны. Такой подход широко применяется в геометрии и аналитической геометрии для решения задач, связанных с симметрией и отражениями.