ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что выпуклый четырёхугольник, имеющий ось симметрии, является или вписанным в окружность, или описанным около окружности.

Точки, симметричные ортоцентру \(H\) относительно сторон \(BC\), \(CA\), \(AB\) треугольника \(ABC\), лежат на описанной окружности, потому что отражение \(H\) относительно хорды описанной окружности даёт точки на той же окружности. Это следует из того, что \(H\) лежит на высотах, и отражение сохраняет расстояния до центра окружности, а значит точки \(H_a\), \(H_b\), \(H_c\) принадлежат описанной окружности.

Ортоцентр \(H\) треугольника \(ABC\) — это точка пересечения высот треугольника. Каждая высота перпендикулярна стороне треугольника и проходит через противоположную вершину. Рассмотрим отражение ортоцентра \(H\) относительно стороны \(BC\), то есть относительно прямой, на которой лежит отрезок \(BC\). Обозначим эту отражённую точку как \(H_a\). Поскольку \(H\) лежит на высоте из вершины \(A\), которая перпендикулярна \(BC\), то отражение \(H_a\) относительно \(BC\) находится на той же прямой, что и \(A\) и \(H\), но с другой стороны от \(BC\). Таким образом, точки \(A\), \(H\) и \(H_a\) коллинеарны.

Отражение точки относительно прямой сохраняет расстояние до этой прямой и меняет знак перпендикулярной координаты. Поскольку \(BC\) является хордой описанной окружности треугольника \(ABC\), отражение любой точки относительно этой хорды даёт точку, лежащую на той же окружности. Это связано с тем, что описанная окружность симметрична относительно любой своей хорды, и отражение точки \(H\) относительно \(BC\) переносит её на окружность. Аналогично отражения \(H_b\) и \(H_c\) относительно сторон \(CA\) и \(AB\) также лежат на описанной окружности.

Кроме того, векторное соотношение для ортоцентра и центра описанной окружности \(O\) треугольника \(ABC\) даёт формулу \( \vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} \). Отражение \(H_a\) относительно \(BC\) можно представить как отражение вектора \( \vec{OH} \) относительно направления \(BC\), что сохраняет длину радиуса описанной окружности и перемещает точку на окружность. Таким образом, точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника, обязательно лежат на описанной окружности этого треугольника.