ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике АВС (ZC = 90°) медиана АМ, проведённая к меньшему катету, образует с большим катетом угол 15°. Найдите площадь треугольника АВС, если АМ = m.

Пусть меньший катет \(BC = b\), больший катет \(AC = a\), медиана \(AM = m\), \(M\) — середина \(BC\). Тогда \(M = \left(\frac{a}{2}, 0\right)\), \(A = (0,b)\). Вектор \(AM = \left(\frac{a}{2}, -b\right)\), вектор \(AC = (0,a)\).

Угол между \(AM\) и \(AC\) равен 15°, значит \(\cos 15^\circ = \frac{AM \cdot AC}{|AM||AC|} = \frac{-b a}{m a} = \frac{-b}{m}\), откуда \(b = m \cos 15^\circ\).

Длина медианы: \(m^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2 = \frac{a^2}{4} + b^2\), подставляем \(b\):

\(m^2 = \frac{a^2}{4} + m^2 \cos^2 15^\circ\),

откуда \(\frac{a^2}{4} = m^2 (1 — \cos^2 15^\circ) = m^2 \sin^2 15^\circ\), значит \(a = 2 m \sin 15^\circ\).

Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 2 m \sin 15^\circ \cdot m \cos 15^\circ = m^2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{m^2}{2} \sin 30^\circ = \frac{m^2}{4}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \). Обозначим катеты так, что меньший катет — \( BC = b \), а больший катет — \( AC = a \). Точка \( M \) — середина меньшего катета \( BC \), значит координаты \( M \) равны \( \left(\frac{a}{2}, 0\right) \), если принять \( C \) за начало координат, \( B = (a, 0) \), а \( A = (0, b) \). Медиана \( AM \) соединяет вершину \( A \) с серединой \( M \).

Вектор \( AM \) вычисляется как разность координат \( M — A \), то есть \( \left(\frac{a}{2} — 0, 0 — b\right) = \left(\frac{a}{2}, -b\right) \). Вектор \( AC \) направлен от \( C \) к \( A \), его координаты \( (0, b) \). Из условия известно, что угол между медианой \( AM \) и большим катетом \( AC \) равен 15°. Косинус этого угла равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их длин: \( \cos 15^\circ = \frac{AM \cdot AC}{|AM||AC|} \).

Вычислим скалярное произведение: \( AM \cdot AC = \frac{a}{2} \cdot 0 + (-b) \cdot b = -b^2 \). Длина вектора \( AM \) равна \( m \), по условию, а длина \( AC \) равна \( b \). Подставим в формулу для косинуса угла: \( \cos 15^\circ = \frac{-b^2}{m b} = \frac{-b}{m} \). Поскольку длина не может быть отрицательной, берём модуль: \( b = m \cos 15^\circ \).

Далее найдём длину большего катета \( a \), используя длину медианы \( AM \). По формуле длины вектора: \( m^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2 \). Подставим \( b = m \cos 15^\circ \): \( m^2 = \frac{a^2}{4} + m^2 \cos^2 15^\circ \), откуда \( \frac{a^2}{4} = m^2 (1 — \cos^2 15^\circ) = m^2 \sin^2 15^\circ \). Значит, \( a = 2 m \sin 15^\circ \).

Площадь треугольника \( ABC \) вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} a b \). Подставим найденные значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 2 m \sin 15^\circ \cdot m \cos 15^\circ = m^2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ \). Используя формулу двойного угла для синуса, \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), получаем \( \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ \). Поскольку \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), итоговая площадь равна \( S = \frac{m^2}{4} \).