ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой а. Найдите на прямой а такую точку Х, чтобы величина JAX XB| была наибольшей.

Точка \( X \) должна совпадать с проекцией \( A \) или \( B \) на прямую \( a \), чтобы максимизировать \( |AX — XB| \). Максимальное значение равно длине отрезка между проекциями \( A_1 \) и \( B_1 \) на прямой \( a \).

Точки \( A \) и \( B \) находятся по разные стороны от прямой \( a \), следовательно, прямая \( a \) не содержит ни одну из этих точек, но пересекает пространство между ними. Чтобы найти такую точку \( X \) на прямой \( a \), при которой величина \( |AX — XB| \) максимальна, нужно рассмотреть расстояния от точек \( A \) и \( B \) до точки \( X \). Поскольку \( X \) лежит на прямой \( a \), то \( AX \) и \( XB \) — это длины отрезков, соединяющих \( A \) и \( B \) с точкой \( X \).

Максимальное значение выражения \( |AX — XB| \) достигается, когда точка \( X \) совпадает с проекцией либо точки \( A \), либо точки \( B \) на прямую \( a \). Проекция точки — это точка на прямой \( a \), ближайшая к исходной точке. Обозначим проекции \( A \) и \( B \) на прямую \( a \) как \( A_1 \) и \( B_1 \). Тогда расстояния \( AA_1 \) и \( BB_1 \) — минимальные расстояния от точек \( A \) и \( B \) до прямой \( a \). При этом \( AX = AA_1 + A_1X \) и \( XB = BB_1 + B_1X \).

Поскольку \( X \) лежит на прямой \( a \), то \( A_1X \) и \( B_1X \) — расстояния по прямой \( a \). Максимум \( |AX — XB| \) достигается, когда \( X \) совпадает с \( A_1 \) или \( B_1 \), так как в этом случае один из отрезков \( AX \) или \( XB \) равен нулю, а другой — максимален. Таким образом, максимальное значение \( |AX — XB| \) равно длине отрезка \( |A_1B_1| \), то есть расстоянию между проекциями точек \( A \) и \( B \) на прямую \( a \).