ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и данной высотой, проведённой к этому основанию, равнобедренный имеет наименьший периметр.

Пусть основание \( BC = b \), высота \( AD = h \), точка \( D \) на \( BC \), \( BD = x \). Периметр \( P = \sqrt{h^2 + x^2} + b + \sqrt{h^2 + (b — x)^2} \). Минимум достигается при \( f'(x) = 0 \):

\( \frac{x}{\sqrt{h^2 + x^2}} = \frac{b — x}{\sqrt{h^2 + (b — x)^2}} \)

Отсюда \( x = \frac{b}{2} \), то есть \( AB = AC \) и треугольник равнобедренный. Значит, равнобедренный треугольник с данным основанием и высотой имеет наименьший периметр.

Пусть основание треугольника \( BC = b \), высота, проведённая из вершины \( A \) на основание \( BC \), равна \( h \). Обозначим точку основания высоты на отрезке \( BC \) как \( D \), тогда \( AD = h \), а длина отрезка \( BD = x \), где \( 0 \leq x \leq b \). Для любого значения \( x \) длины боковых сторон треугольника будут равны \( AB = \sqrt{h^2 + x^2} \) и \( AC = \sqrt{h^2 + (b — x)^2} \).

Периметр треугольника можно записать как сумму трёх сторон: \( P = AB + BC + AC = \sqrt{h^2 + x^2} + b + \sqrt{h^2 + (b — x)^2} \). Поскольку \( b \) и \( h \) фиксированы, переменная величина — это \( x \), которая определяет, как точка \( D \) расположена на основании \( BC \). Задача сводится к нахождению такого значения \( x \), при котором периметр \( P \) минимален.

Для нахождения минимума функции \( P(x) \) найдём её производную по \( x \):

\( P'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{h^2 + x^2} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt{h^2 + (b — x)^2} \right) = \frac{x}{\sqrt{h^2 + x^2}} — \frac{b — x}{\sqrt{h^2 + (b — x)^2}} \).

Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек:

\( \frac{x}{\sqrt{h^2 + x^2}} = \frac{b — x}{\sqrt{h^2 + (b — x)^2}} \).

Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\( \frac{x^2}{h^2 + x^2} = \frac{(b — x)^2}{h^2 + (b — x)^2} \).

Перемножив крест-накрест, получаем:

\( x^2 (h^2 + (b — x)^2) = (b — x)^2 (h^2 + x^2) \).

Раскрывая скобки и сокращая одинаковые слагаемые, остаётся уравнение:

\( x^2 h^2 = (b — x)^2 h^2 \).

Поскольку \( h \neq 0 \), делим обе части на \( h^2 \):

\( x^2 = (b — x)^2 \).

Отсюда следует \( x = b — x \), то есть \( 2x = b \) и \( x = \frac{b}{2} \). Значит, точка основания высоты \( D \) делит основание \( BC \) пополам, и боковые стороны равны: \( AB = AC = \sqrt{h^2 + \left( \frac{b}{2} \right)^2} \).

Проверка знака производной показывает, что при \( x < \frac{b}{2} \) функция убывает, а при \( x > \frac{b}{2} \) возрастает, то есть \( x = \frac{b}{2} \) — точка минимума. Следовательно, при фиксированном основании и высоте минимальный периметр достигается, когда треугольник равнобедренный с \( AB = AC \).