ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Точки М и N принадлежат углу АВС. Найдите на сторонах этого угла такие точки E и F, чтобы периметр четырёхугольника EMNF был наименьшим.
Периметр четырёхугольника \( EMNF \) минимален, если точки \( E \) и \( F \) выбраны как проекции точек \( M \) и \( N \) на стороны угла \( ABC \), то есть \( E \) и \( F \) лежат на сторонах угла так, что \( EMNF \) — выпуклый четырёхугольник с минимальным периметром. Это достигается отражением точки \( N \) относительно стороны угла и проведением прямой через \( M \) и отражённую точку, пересекающей стороны угла в \( E \) и \( F \).
Точки \( M \) и \( N \) принадлежат сторонам угла \( ABC \), вершина которого находится в точке \( B \). Для минимизации периметра четырёхугольника \( EMNF \), где \( E \) и \( F \) — точки на сторонах угла, необходимо применить метод отражения. Отражение используется для сведения задачи о минимизации периметра к задаче о нахождении кратчайшего пути между двумя точками. В данном случае отражаем точку \( N \) относительно стороны угла, на которой лежит точка \( M \). Это позволяет построить прямую линию, соединяющую точку \( M \) и отражённую точку \( N’ \).
Далее находим точки пересечения этой прямой с сторонами угла \( ABC \). Эти точки пересечения и будут искомыми точками \( E \) и \( F \). Таким образом, четырёхугольник \( EMNF \) образуется из точек, лежащих на сторонах угла, а путь \( E \to M \to N \to F \) после отражения становится прямой линией. Периметр четырёхугольника равен длине этого пути, которая минимальна, так как прямая линия — кратчайшее расстояние между двумя точками.
Если задать координаты точек и уравнения сторон угла, то координаты \( E \) и \( F \) можно найти, решая систему уравнений прямой, проходящей через \( M \) и отражённую точку \( N’ \), с уравнениями сторон угла. Это гарантирует, что периметр четырёхугольника \( EMNF \) будет минимален. Таким образом, задача сводится к геометрическому построению с использованием отражения и нахождению точек пересечения прямой с линиями угла.
