ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через вершину А треугольника АВС и точку D, лежащую на стороне ВС, проведена прямая. Известно, что LADB + 90°. Найдите на этой прямой такую точку Х, из которой отрезки BD и DC были бы видны под одинаковыми углами.

Точка \( X \) лежит на прямой \( AD \) и удовлетворяет условию равенства углов \( \angle BXD = \angle DXC \). Это возможно, если \( X \) — точка пересечения прямой \( AD \) с окружностью, описанной около треугольника \( BDC \), где \( BD \) и \( DC \) видны под равными углами. Угол \( \angle ADB = 90^\circ \) гарантирует, что \( D \) лежит на окружности с диаметром \( AB \). Таким образом, искомая точка \( X \) — пересечение прямой \( AD \) с этой окружностью.

Точка \( X \) лежит на прямой, проходящей через вершину \( A \) и точку \( D \), обозначим эту прямую как \( AD \). По условию, угол \( \angle ADB = 90^\circ \), что означает, что треугольник \( ADB \) прямоугольный с прямым углом в точке \( D \). Следовательно, точка \( D \) лежит на окружности с диаметром \( AB \), так как угол, опирающийся на диаметр, всегда равен \( 90^\circ \). Это важное геометрическое свойство позволяет связать положение точки \( D \) с окружностью, построенной на отрезке \( AB \).

Далее, чтобы из точки \( X \), лежащей на прямой \( AD \), отрезки \( BD \) и \( DC \) были видны под одинаковыми углами, необходимо, чтобы углы \( \angle BXD \) и \( \angle DXC \) были равны. Это условие равенства углов означает, что точка \( X \) находится на так называемой дуге, с которой эти отрезки видны под равными углами. Геометрически это можно интерпретировать так: точка \( X \) лежит на окружности, проходящей через точки \( B \), \( D \) и \( C \), поскольку именно на такой окружности углы, опирающиеся на один и тот же отрезок, равны.

Таким образом, искомая точка \( X \) — это точка пересечения прямой \( AD \) с окружностью, описанной около треугольника \( BDC \). При этом условие \( \angle ADB = 90^\circ \) гарантирует, что \( D \) лежит на окружности с диаметром \( AB \), что помогает определить положение этой окружности и найти точку \( X \). В итоге, \( X \) — это единственная точка на прямой \( AD \), из которой отрезки \( BD \) и \( DC \) видны под равными углами, что и требовалось доказать.