ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Проведите пересекающиеся прямые а и а1. Постройте прямую, относительно которой прямая а, будет симметрична прямой а. Сколько решений имеет задача?

Прямая \( \ell \), относительно которой прямая \( a \) симметрична прямой \( a_1 \), является биссектрисой угла между \( a \) и \( a_1 \). Таких прямых две, значит, задача имеет два решения.

Прямые \( a \) и \( a_1 \) пересекаются в некоторой точке \( O \). При симметрии относительно прямой \( \ell \) образ прямой \( a \) должен совпадать с прямой \( a_1 \). Это значит, что прямая \( \ell \) является осью симметрии, которая отражает \( a \) в \( a_1 \). Такая ось симметрии обязательно должна проходить через точку пересечения \( O \), так как при отражении точка пересечения не меняет своего положения.

Для определения направления прямой \( \ell \) нужно рассмотреть угол \( \theta \) между прямыми \( a \) и \( a_1 \). Прямая \( \ell \) должна делить этот угол пополам, то есть быть биссектрисой угла \( \theta \). При этом существует не одна, а две биссектрисы угла — одна делит угол \( \theta \) между \( a \) и \( a_1 \), а другая — смежный с ним угол \( 180^\circ — \theta \). Обе биссектрисы при отражении переводят прямую \( a \) в прямую \( a_1 \).

Таким образом, существует ровно две прямые \( \ell \), которые могут служить осью симметрии для перехода от \( a \) к \( a_1 \). Это означает, что задача имеет два решения. Каждое из них — это одна из двух биссектрис угла между прямыми \( a \) и \( a_1 \), проходящая через точку \( O \).