ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте параллелограмм ABCD по вершине D и серединным перпендикулярам сторон AB и ВС.

Пусть \(D\) — заданная вершина. Серединные перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(BC\) пересекаются в точке \(B\). Найдя \(B\), используем свойство параллелограмма: \( \vec{A} = \vec{D} + \vec{B} — \vec{C} \). Точки \(A\) и \(C\) находятся на серединных перпендикулярах, удовлетворяют условиям равенства и параллельности сторон. Таким образом, построение завершено.

Дана точка \(D\) и серединные перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(BC\) параллелограмма \(ABCD\). Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная ему. Если обозначить середины отрезков \(AB\) и \(BC\) как \(M\) и \(N\), то серединные перпендикуляры проходят через точки \(M\) и \(N\) соответственно. Пересечение этих серединных перпендикуляров даёт точку \(B\), так как \(B\) — единственная точка, которая одновременно лежит на перпендикулярах к сторонам \(AB\) и \(BC\) в их серединах.

После нахождения точки \(B\) можно определить точки \(A\) и \(C\), используя свойства параллелограмма. В параллелограмме сумма векторов противоположных вершин равна сумме векторов других двух вершин, то есть \( \vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D} \). Зная \(B\) и \(D\), а также положение серединных перпендикуляров, можно выразить координаты \(A\) и \(C\). Например, если известна точка \(B\) и вектор \( \vec{D} \), то \( \vec{A} = \vec{B} + \vec{D} — \vec{C} \), где \(C\) находится на серединном перпендикуляре к \(BC\).

Таким образом, построение параллелограмма сводится к нахождению точки \(B\) как пересечения серединных перпендикуляров, после чего с помощью векторного равенства и геометрических свойств параллелограмма находятся остальные вершины \(A\) и \(C\). Это гарантирует, что построенный четырёхугольник \(ABCD\) будет параллелограммом с заданной вершиной \(D\) и сторонами, соответствующими данным серединным перпендикулярам.