ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.41 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На биссектрисе внешнего угла С треугольника АВС отмечена точка М, отличная от точки С. Докажите, что МА + MB>СА +СВ.

Точка \( M \) лежит на биссектрисе внешнего угла при \( C \), значит угол \( MCB = MCA \). В треугольниках \( AMC \) и \( BMC \) по неравенству треугольника: \( MA + MC > CA \) и \( MB + MC > CB \). Складывая, получаем \( MA + MB + 2MC > CA + CB \). Так как \( MC > 0 \), то \( MA + MB > CA + CB \).

Точка \( M \) лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине \( C \) треугольника \( ABC \). Внешний угол при \( C \) равен сумме двух внутренних несмежных углов \( A \) и \( B \), то есть угол \( MCB = MCA = \angle A + \angle B \). Это означает, что луч \( CM \) делит внешний угол при \( C \) пополам, и \( M \) находится вне треугольника.

Рассмотрим два треугольника: \( AMC \) и \( BMC \). В каждом из них можно применить неравенство треугольника, которое гласит, что сумма двух сторон всегда больше третьей. В треугольнике \( AMC \) имеем \( MA + MC > CA \), а в треугольнике \( BMC \) — \( MB + MC > CB \). Складывая эти два неравенства, получаем \( (MA + MC) + (MB + MC) > CA + CB \), что упрощается до \( MA + MB + 2MC > CA + CB \).

Поскольку точка \( M \) не совпадает с \( C \), длина отрезка \( MC \) положительна, то есть \( MC > 0 \). Следовательно, из неравенства \( MA + MB + 2MC > CA + CB \) вытекает, что \( MA + MB > CA + CB \). Это доказывает, что сумма длин отрезков \( MA \) и \( MB \) больше суммы длин \( CA \) и \( CB \), что и требовалось доказать.