ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки А, В и С вершины неравнобедренного треугольника. Сколько существует таких точек D, что четырёхугольник с вершинами A, B, C и D имеет хотя бы одну ось симметрии?

Точки \(D\) — отражения точек \(A, B, C\) относительно прямых \(BC, AC, AB\) соответственно. Таких точек ровно 3. Ответ: 3.

Четырёхугольник \( ABCD \) будет иметь ось симметрии, если существует прямая, относительно которой фигура симметрична. Поскольку треугольник \( ABC \) неравнобедренный, у него нет осей симметрии, и значит ось симметрии четырёхугольника должна проходить через одну из пар вершин. Рассмотрим три возможные оси симметрии, проходящие через пары вершин: через \( AB \), \( BC \) и \( AC \).

Если ось симметрии проходит через \( AB \), то точки \( C \) и \( D \) должны быть взаимно симметричны относительно прямой \( AB \). Следовательно, точка \( D \) является отражением точки \( C \) относительно прямой \( AB \). Аналогично, если ось симметрии проходит через \( BC \), то \( D \) — отражение \( A \) относительно \( BC \), а если через \( AC \), то \( D \) — отражение \( B \) относительно \( AC \). Каждое из этих отражений даёт ровно одну точку \( D \).

Таким образом, всего существует три точки \( D \), при которых четырёхугольник \( ABCD \) будет иметь ось симметрии — это отражения трёх вершин треугольника относительно прямых, проходящих через другие две вершины. Ответ: 3.