ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.43 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте треугольник АВС по двум сторонам АВ и AC (АВ < АС) и разности углов В и С.

Пусть \(AB = c\), \(AC = b\), \(\angle B = \beta\), \(\angle C = \gamma\), \(\beta — \gamma = \Delta\).
По теореме синусов: \( \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin (\gamma + \Delta)} \).
Решаем уравнение \( c \sin(\gamma + \Delta) = b \sin \gamma \) относительно \(\gamma\).
Вычисляем \(\beta = \gamma + \Delta\), \(\alpha = 180^\circ — \beta — \gamma\).
Строим угол \(\alpha\) при вершине \(A\), откладываем отрезки \(AB = c\) и \(AC = b\), соединяем точки \(B\) и \(C\).

Пусть даны стороны треугольника \(AB = c\), \(AC = b\) с условием \(c < b\), а также разность углов при вершинах \(B\) и \(C\), то есть \(\beta — \gamma = \Delta\). Известно, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), следовательно, \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\). Подставим выражение для \(\beta\) через \(\gamma\) и \(\Delta\): \(\beta = \gamma + \Delta\). Тогда уравнение для суммы углов примет вид \( \alpha + \gamma + (\gamma + \Delta) = 180^\circ \), откуда следует, что \( \alpha = 180^\circ — 2\gamma — \Delta \).

Для построения треугольника используем теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон: \( \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha} \). Подставляя \(\beta = \gamma + \Delta\), получаем уравнение \( \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin (\gamma + \Delta)} \). Перемножая крест-накрест, получаем уравнение \( c \sin (\gamma + \Delta) = b \sin \gamma \), которое необходимо решить относительно \(\gamma\). Решение этого уравнения позволяет определить величину угла \(\gamma\), а затем по формуле \(\beta = \gamma + \Delta\) найти угол \(\beta\).

После нахождения углов \(\beta\), \(\gamma\) и \(\alpha\) можно приступить к построению треугольника. Для этого в точке \(A\) строится угол \(\alpha\), на его сторонах откладываются отрезки длины \(AB = c\) и \(AC = b\). Точки \(B\) и \(C\) соединяются отрезком, завершая построение треугольника. Таким образом, задача сводится к решению уравнения, которое связывает известные стороны с разностью углов, и к последующему геометрическому построению по найденным углам и сторонам.