ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.44 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте трапецию по боковым сторонам, основанию и разности углов при этом основании.

Пусть \(AB = a\), \(AD = c\), \(BC = d\), углы при основании \(AB\) равны \(\alpha\) и \(\beta = \alpha + \Delta\).

Координаты точек:
\(D = (c \cos \alpha, c \sin \alpha)\),
\(C = (a — d \cos \beta, d \sin \beta)\).

Длина основания \(CD = \sqrt{(a — d \cos \beta — c \cos \alpha)^2 + (d \sin \beta — c \sin \alpha)^2}\).

Высота трапеции \(h = c \sin \alpha = d \sin \beta\).

Площадь трапеции \(S = \frac{(a + CD)}{2} \times h\).

Ответ: \(S = \frac{(a + \sqrt{(a — d \cos \beta — c \cos \alpha)^2 + (d \sin \beta — c \sin \alpha)^2})}{2} \times c \sin \alpha\).

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основанием \(AB = a\), боковыми сторонами \(AD = c\) и \(BC = d\), и с разностью углов при основании \(AB\), где углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны соответственно \(\alpha\) и \(\beta = \alpha + \Delta\). Для удобства расположим трапецию так, чтобы основание \(AB\) лежало на оси \(x\), а точка \(A\) находилась в начале координат \( (0,0) \). Тогда точка \(B\) будет иметь координаты \( (a,0) \).

Чтобы найти координаты точек \(D\) и \(C\), воспользуемся тем, что боковые стороны имеют длины \(c\) и \(d\), а углы при основании задают направление этих сторон относительно оси \(x\). Точка \(D\), исходящая из \(A\) под углом \(\alpha\), имеет координаты \( (c \cos \alpha, c \sin \alpha) \), так как длина стороны \(AD\) равна \(c\), а угол наклона к оси \(x\) равен \(\alpha\). Аналогично, точка \(C\), исходящая из \(B\) под углом \(\beta\), будет иметь координаты \( (a — d \cos \beta, d \sin \beta) \), где знак минус перед \(d \cos \beta\) объясняется тем, что сторона \(BC\) направлена влево от точки \(B\).

Длина второго основания \(CD\) вычисляется по формуле расстояния между точками \(C\) и \(D\): \(CD = \sqrt{(a — d \cos \beta — c \cos \alpha)^2 + (d \sin \beta — c \sin \alpha)^2}\). Высота трапеции равна вертикальной координате точки \(D\) (или \(C\), так как обе лежат на одной высоте), то есть \(h = c \sin \alpha = d \sin \beta\). Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S = \frac{(a + CD)}{2} \times h\), где \(a\) и \(CD\) — основания, а \(h\) — высота. Таким образом, окончательная формула площади будет выглядеть как \(S = \frac{(a + \sqrt{(a — d \cos \beta — c \cos \alpha)^2 + (d \sin \beta — c \sin \alpha)^2})}{2} \times c \sin \alpha\).