ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.45 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки С и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ (рис. 20.28). На прямой АВ найдите такую точку X, что \(ZAXC = \frac{1}{4}DXB\).

Точка \(X\) на прямой \(AB\) определяется условием равенства углов: \( \angle ZAXC = \frac{1}{4} \angle DXB \).

Пусть \(A\) в начале координат, \(B\) в точке \(b\), \(X\) в точке \(x\). Тогда уравнение:

\(\arccos \frac{c_x}{\sqrt{c_x^2 + c_y^2}} = \frac{1}{4} \arccos \frac{(x — d_x)(b — x)}{|b — x| \sqrt{(x — d_x)^2 + d_y^2}}\).

Решая это уравнение относительно \(x\), получаем координату точки \(X\).

Точка \(X\) лежит на прямой \(AB\), и её координата \(x\) определяется условием, что угол \(ZAXC\) равен четверти угла \(DXB\). Пусть \(A\) имеет координату 0, а \(B\) — координату \(b\) на оси \(x\). Точки \(C\) и \(D\) находятся вне оси \(x\) и имеют координаты \(C(c_x, c_y)\) и \(D(d_x, d_y)\) соответственно. Поскольку \(X\) лежит на оси \(x\), его координата — это число \(x\), которое нужно найти.

Угол \(ZAXC\) — это угол между векторами \(AX\) и \(AC\). Вектор \(AX\) направлен вдоль оси \(x\) от 0 до \(x\), то есть \(AX = (x, 0)\). Вектор \(AC = (c_x, c_y)\). Косинус угла между этими векторами вычисляется по формуле \( \cos \alpha = \frac{AX \cdot AC}{|AX| |AC|} = \frac{x c_x}{|x| \sqrt{c_x^2 + c_y^2}} \). При условии, что \(x > 0\), это равно \( \frac{c_x}{\sqrt{c_x^2 + c_y^2}} \), то есть косинус угла \(ZAXC\) не зависит от \(x\).

Угол \(DXB\) — это угол между векторами \(DX\) и \(XB\). Вектор \(DX = (x — d_x, -d_y)\), а вектор \(XB = (b — x, 0)\). Косинус угла между ними равен \( \cos \beta = \frac{(x — d_x)(b — x)}{|b — x| \sqrt{(x — d_x)^2 + d_y^2}} \). Этот угол зависит от координаты \(x\), так как меняется положение точки \(X\).

Условие задачи гласит, что \( \alpha = \frac{1}{4} \beta \), то есть \( \arccos \frac{c_x}{\sqrt{c_x^2 + c_y^2}} = \frac{1}{4} \arccos \frac{(x — d_x)(b — x)}{|b — x| \sqrt{(x — d_x)^2 + d_y^2}} \). Решение этого уравнения относительно \(x\) даёт искомое положение точки \(X\) на прямой \(AB\).