ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.46 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки C и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB.
На прямой AB найдите такую точку X, что |∠AXC – ∠BXD| = 90°.

Точка \(X\) на прямой \(AB\) находится как точка пересечения \(AB\) с окружностью, построенной так, что \(|\angle AXC — \angle BXD| = 90^\circ\). Это достигается, если \(X\) лежит на пересечении прямой \(AB\) и окружности с диаметром \(CD\).

Точки \(C\) и \(D\) лежат по одну сторону от прямой \(AB\), и нам нужно найти точку \(X\) на прямой \(AB\), такую что разница углов \(|\angle AXC — \angle BXD|\) равна \(90^\circ\). Для этого рассмотрим окружность с диаметром \(CD\). По свойству вписанного угла, угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\). Следовательно, если точка \(X\) лежит на окружности с диаметром \(CD\), то угол \(\angle CXD\) будет прямым.

Теперь заметим, что углы \(\angle AXC\) и \(\angle BXD\) связаны с углом \(\angle CXD\). Точка \(X\) лежит на прямой \(AB\), а точки \(C\) и \(D\) по одну сторону от неё. Если провести лучи \(XC\) и \(XD\), то угол между ними \(\angle CXD\) равен сумме углов \(\angle AXC\) и \(\angle BXD\) или их разности в зависимости от расположения точек. Чтобы \(|\angle AXC — \angle BXD| = 90^\circ\), достаточно, чтобы \(X\) лежала на окружности с диаметром \(CD\), где угол \(\angle CXD = 90^\circ\).

Таким образом, точка \(X\) является точкой пересечения прямой \(AB\) с окружностью, построенной по диаметру \(CD\). Это гарантирует выполнение условия \(|\angle AXC — \angle BXD| = 90^\circ\) благодаря свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности.