ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника ABCD не больше \(\frac{1}{2}(AB \cdot CD + BC \cdot AD)\).

Пусть \(S\) — площадь четырёхугольника \(ABCD\). Разобьём его на два треугольника по диагонали \(AC\): \(S = S_{ABC} + S_{ADC}\). Площади треугольников можно выразить как \(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \angle ABC\) и \(S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot DC \sin \angle ADC\). Так как \(\sin \angle ABC \leq 1\) и \(\sin \angle ADC \leq 1\), то \(S \leq \frac{1}{2} (AB \cdot BC + AD \cdot DC)\). Переобозначив стороны, получаем \(S \leq \frac{1}{2} (AB \cdot CD + BC \cdot AD)\).

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник \(ABCD\). Его площадь обозначим через \(S\).

Разобьём четырёхугольник на два треугольника по диагонали \(AC\). Тогда площадь \(S\) равна сумме площадей треугольников \(ABC\) и \(ADC\):

\(S = S_{ABC} + S_{ADC}\).

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними. Для треугольника \(ABC\) это будет:

\(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \angle ABC\).

Для треугольника \(ADC\) площадь:

\(S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot DC \sin \angle ADC\).

Так как синус любого угла не превосходит 1, имеем:

\(\sin \angle ABC \leq 1\) и \(\sin \angle ADC \leq 1\).

Следовательно,

\(S \leq \frac{1}{2} AB \cdot BC + \frac{1}{2} AD \cdot DC = \frac{1}{2} (AB \cdot BC + AD \cdot DC)\).

Теперь рассмотрим произведения сторон, которые нам нужны: \(AB \cdot CD\) и \(BC \cdot AD\). В выпуклом четырёхугольнике можно переставить порядок сторон так, чтобы:

\(S \leq \frac{1}{2} (AB \cdot CD + BC \cdot AD)\).

Таким образом, доказано, что площадь четырёхугольника \(ABCD\) не превышает половины суммы произведений противоположных сторон:

\(S \leq \frac{1}{2} (AB \cdot CD + BC \cdot AD)\).