ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.49 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружность вписан остроугольный треугольник. Постройте шестиугольник, вписанный в эту окружность, площадь которого в два раза больше площади данного треугольника.

Пусть площадь треугольника равна \( S \). Правильный шестиугольник, вписанный в ту же окружность, можно разбить на 6 равных равносторонних треугольников. Площадь шестиугольника будет \( 6 \times \) площадь одного из них. Чтобы площадь шестиугольника была в 2 раза больше площади данного треугольника, нужно подобрать точки так, чтобы выполнялось равенство:

\( S_{шестиугольника} = 2S \).

Площадь правильного шестиугольника с радиусом \( R \):

\( S_{шестиугольника} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} R^2 \).

Площадь треугольника можно выразить через радиус окружности и углы, но для построения достаточно построить высоты треугольника, найти центр окружности и разбить окружность на 6 равных дуг по 60° для построения шестиугольника с нужной площадью.

Пусть дан остроугольный треугольник с вершинами \( A \), \( B \), \( C \), вписанный в окружность радиуса \( R \). Площадь этого треугольника обозначим через \( S \). Для построения шестиугольника, вписанного в ту же окружность, необходимо понимать, что правильный шестиугольник можно разбить на 6 равных равносторонних треугольников, каждый из которых имеет сторону, равную радиусу окружности \( R \). Площадь правильного шестиугольника с радиусом описанной окружности равна \( S_{шестиугольника} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} R^{2} \).

Площадь исходного треугольника \( \triangle ABC \) можно выразить через радиус описанной окружности и стороны треугольника, используя формулу Герона или формулу через синус угла. Например, если стороны треугольника равны \( a \), \( b \), \( c \), то площадь равна \( S = \frac{abc}{4R} \). Для задачи важно, что площадь шестиугольника должна быть в 2 раза больше площади треугольника, то есть должно выполняться равенство \( S_{шестиугольника} = 2S \).

Для построения такого шестиугольника нужно разбить окружность на 6 равных дуг по 60 градусов. Начав с вершин треугольника, необходимо определить дополнительные три точки \( D \), \( E \), \( F \) на окружности, чтобы получить шестиугольник \( ABCDEF \). Поскольку площадь правильного шестиугольника фиксирована радиусом окружности, для достижения условия \( S_{шестиугольника} = 2S \) можно регулировать положение треугольника внутри окружности или масштаб окружности, чтобы площадь треугольника была ровно половиной площади шестиугольника. Таким образом, построение сводится к нахождению центра окружности и равномерному делению окружности на 6 равных частей для получения вершин шестиугольника с требуемой площадью.