ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.50 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол BAD равен 60°. Известно, что точки, симметричные точке А относительно прямых СВ и CD, лежат на прямой BD. Найдите угол BCD.

Угол \( \angle BCD = 60^\circ \), так как точки, симметричные \( A \) относительно прямых \( CB \) и \( CD \), лежат на \( BD \), что означает, что \( C \) — центр описанной окружности треугольника \( BCD \), и угол при \( C \) равен углу \( \angle BAD = 60^\circ \).

Выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) имеет угол \( \angle BAD = 60^\circ \). Рассмотрим точки, симметричные точке \(A\) относительно прямых \(CB\) и \(CD\). Обозначим эти точки как \(A_1\) и \(A_2\) соответственно. По условию, обе точки \(A_1\) и \(A_2\) лежат на прямой \(BD\). Это важное геометрическое свойство, которое указывает на особое расположение точек и прямых в четырёхугольнике.

Симметрия относительно прямой означает, что точка и её образ расположены по разные стороны от этой прямой на одинаковом расстоянии. Если \(A_1\) — симметричная \(A\) относительно \(CB\), а \(A_2\) — симметричная \(A\) относительно \(CD\), и обе лежат на \(BD\), то прямая \(BD\) является не просто случайной линией, а имеет отношение к описанной окружности треугольника \(BCD\). В частности, точка \(C\) становится центром описанной окружности, так как симметричные отражения относительно хорд лежат на диаметре или на линии, проходящей через центр окружности.

Из этого следует, что угол \( \angle BCD \), опирающийся на дугу \(BD\), равен углу \( \angle BAD = 60^\circ \). Это связано с тем, что в окружности угол, опирающийся на ту же дугу, равен. Таким образом, \(C\) — центр описанной окружности, а угол при вершине \(C\) равен заданному углу при вершине \(A\). Следовательно, искомый угол \( \angle BCD = 60^\circ \).