ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.51 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В прямоугольной трапеции ABCD (\(ZA = ZB = 90°\)) биссектриса угла ADC пересекает сторону АВ в точке М. Найдите угол CMD, если \(CD= AD + BC\).

Угол \( \angle CMD = 90^\circ \), так как при условии \( CD = AD + BC \) точки \( C, D, M \) лежат на окружности, а угол, опирающийся на диаметр, равен \( 90^\circ \).

В трапеции \( ABCD \) с прямыми углами при \( A \) и \( B \) основания \( AB \) и \( CD \) параллельны, а углы \( \angle A = \angle B = 90^\circ \). По условию, длина основания \( CD \) равна сумме длин боковых сторон, то есть \( CD = AD + BC \). Это особое соотношение позволяет сделать вывод о геометрическом положении точек, связанных с углом \( ADC \) и его биссектрисой.

Биссектриса угла \( ADC \) пересекает сторону \( AB \) в точке \( M \). Рассмотрим треугольник \( CMD \), где \( M \) лежит на \( AB \), а \( C \) и \( D \) — на основании \( CD \). Из условия \( CD = AD + BC \) следует, что точка \( M \) расположена так, что точки \( C, M, D \) лежат на одной окружности. Это связано с тем, что сумма длин отрезков \( AD \) и \( BC \), равная \( CD \), указывает на вписанность этих точек в окружность, где \( CD \) является диаметром.

По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности, угол \( \angle CMD \) равен \( 90^\circ \). Таким образом, угол между точками \( C, M, D \) является прямым, что и требуется доказать. В итоге, \( \angle CMD = 90^\circ \), что подтверждается геометрическими свойствами трапеции и вписанной окружности.