ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 20.52 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Точка М середина стороны ВС выпуклого четырёхугольника ABCD. Известно, что \(LAMD = 120°\). Докажите, что \(AB + \frac{1}{2}BC+CD > AD\).
Точка \(M\) — середина \(BC\), значит \(BM = MC = \frac{1}{2} BC\). В треугольнике \(AMD\) по неравенству треугольника \(AM + MD > AD\). При этом \(AM \leq AB + BM = AB + \frac{1}{2} BC\) и \(MD \leq CD\). Следовательно, \(AB + \frac{1}{2} BC + CD > AD\).
Точка \(M\) является серединой стороны \(BC\), поэтому отрезок \(BM\) равен отрезку \(MC\), и каждый из них равен половине длины \(BC\), то есть \(BM = MC = \frac{1}{2} BC\). Это важное свойство позволяет нам связать длины отрезков, которые участвуют в доказательстве. Рассмотрим теперь треугольник \(AMD\). По условию угол \( \angle AMD = 120^\circ \), что указывает на то, что этот треугольник является неравнобедренным с углом больше \(90^\circ\), а значит применимо строгое неравенство треугольника: сумма двух сторон всегда больше третьей. В частности, для треугольника \(AMD\) выполнено неравенство \(AM + MD > AD\).
Далее, нам нужно выразить длины отрезков \(AM\) и \(MD\) через известные стороны четырёхугольника. Поскольку \(M\) лежит на стороне \(BC\), то отрезок \(AM\) можно оценить сверху через сумму отрезков \(AB\) и \(BM\), используя неравенство треугольника в треугольнике \(ABM\): \(AM \leq AB + BM\). Подставляя значение \(BM = \frac{1}{2} BC\), получаем \(AM \leq AB + \frac{1}{2} BC\). Аналогично, отрезок \(MD\) можно оценить через сторону \(CD\), так как \(M\) и \(D\) связаны через сторону четырёхугольника: \(MD \leq CD\).
Подставляя эти оценки в исходное неравенство для треугольника \(AMD\), имеем \(AM + MD > AD\), где \(AM \leq AB + \frac{1}{2} BC\) и \(MD \leq CD\). Значит, сумма \(AB + \frac{1}{2} BC + CD\) строго больше \(AD\), что и требовалось доказать: \(AB + \frac{1}{2} BC + CD > AD\). Таким образом, используя свойства середины отрезка и неравенство треугольника, мы получили искомое неравенство для сторон выпуклого четырёхугольника.
